1 Einschaltverhalten eines RC-Übertragungsgliedes

Gegeben ist das rechts dargestellte Übertragungsglied (Zweitor). Untersucht wird das Einschwingverhalten der Spannung \(u_2\) am Ausgang bei Anschließen einer idealen Gleichspannungsquelle \(U_q\).

• Skizzieren Sie qualitativ die Zeitverläufe der Spannungen \(u_2\), \(u_{R_2}\) und \(u_C\) vom stationären Zustand für \(t<0\) bis die dargestellten Größen eingeschwungen sind (\(t=5\tau \)). Kennzeichnen Sie Zeitkonstanten, Anfangs- und Endwerte der Verläufe.

• DGL für \(u_C(t \geq 0)\): \begin {align*} R_1 \cdot i + R_2 \cdot i + u_C &= U_q \\ \underbrace {(R_1 + R_2) \cdot C}_{\ =\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C &= U_q \end {align*}
• Zeitverlauf \(u_C\) für \(t\geq 0\): \begin {align*} u_{C,\mathrm {f}}=u_{C,\mathrm {h}} &= K \cdot e^{-\frac {t}{\tau }} &&\text {mit } \tau = (R_1 + R_2) \cdot C \\ u_{C,\mathrm {e}}=u_{C,\mathrm {p}} &= U_q \\ u_C = u_{C,\mathrm {f}} + u_{C,\mathrm {e}} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {e^{0}} + U_q \overset {!}{=} 0 &&\Longrightarrow K = - U_q \\ u_C(t) &= \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \end {align*}
• Spannung \(u_2(t)\) aus \(u_C(t)\) für \(t \geq 0\): \begin {align*} u_2 &= i \cdot R_2 + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {C \cdot R_2}{\tau } \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {R_2}{R_1 + R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 + \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 - \frac {R_1}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \end {align*}

2 Einschaltverhalten (DC) eines verlustbehafteten Kondensators

Das Einschaltverhalten der dargestellten Schaltung soll untersucht werden.

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) wird der Schalter umgelegt, so dass die Gleichspannung \(U_q\) an der Schaltung anliegt. Die Kapazität ist vor dem Schaltzeitpunkt vollständig entladen.

• Bestimmen Sie die Gleichung für die Spannung an der Kapazität \(u_C(t)\) für \(t \geq 0\).
• Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannungen \(u_C(t)\) und \(u_{R1}(t)\) sowie des Stromes \(i_C(t)\). Kennzeichnen Sie charakteristische Punkte.
• Nach vollständigem Aufladen der Kapazität \(C\) auf \(U_{0}\) wird der Schalter wieder in Ausgangsposition gebracht. Wie lange braucht die Kapazität \(C\), um auf \(10\,\%\) der Spannung \(U_{0}\) zu entladen?
• Die Kapazität wird wie in c) entladen, allerdings mit offenem Schalter (Leerlauf). Wie lange dauert der Entladevorgang (von \(U_0\) bis \(10\,\%\cdot U_0\))? Vergleichen Sie die Dauer mit der aus c).

a) ESB (\(t \geq 0\)): \(U_q\) an Schaltung: \(R_1\) in Serie mit Parallelschaltung aus \(R_2\) und \(C\).

1. DGL aufstellen für \(u_C\) (\(t \geq 0\)) \begin {align*} u_{R1} + u_C &= U_q & u_{R_1} &= R_1 \cdot i_{R1}\\ R_1 \cdot i_{R1} + u_C &= U_q & i_{R1} &= i_{R2} + i_C\\ R_1 \cdot (i_C + i_{R2}) + u_C &= U_q & i_C &= C \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C \qquad i_{R2} = \frac {u_C}{R_2}\\ C \cdot R_1 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + \frac {R_1}{R_2} \cdot u_C + u_C &= U_q &&\Big | \cdot R_2\\ C \cdot R_1 \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + \left (R_1 + R_2 \right ) \cdot u_C &= U_q \cdot R_2 &&\Big | : (R_1+R_2)\\ \underbrace {C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}}_{\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \end {align*}

2. Homogene Lösung und 3. Partikuläre Lösung (\(t \to \infty \)) \begin {align*} u_{C,h} &= K \cdot \mathrm {e}^{\lambda t} = K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} & \tau &= C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2} \\[2pt] u_{C,p} &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} & &\text {$C$ entspricht Leerlauf} \end {align*}

4. Überlagerung und 5. Konstante \(K\) bestimmen \begin {align*} u_C(t) = u_{C,h} + u_{C,p} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {\mathrm {e}^{0}} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \overset {!}{=} 0 & \Rightarrow K &= -U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(t) &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \left ( 1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \end {align*}

Zeitverläufe:

• Entladen von \(C\) über Parallelschaltung aus \(R_1\) und \(R_2\) für \(t'\geq 0\) bis \(U_0 \cdot 10\,\%\)
  Entlade-Zeitkonstante: \(\tau _1= \tau = C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}\): \begin {align*} u_C(t') = U_0 \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &\overset {!}{=} U_0 \cdot 10\,\% \\ \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &= \frac {1}{10} \\ -\frac {t'}{\tau } &= \ln \left (\frac {1}{10}\right ) = -\ln \left (10\right ) \\ t' &= \ln \left (10\right ) \cdot \tau \approx 2,3025 \cdot \tau \end {align*}
• Entladen von \(C\) über \(R_2\), wenn Schalter öffnet (Leerlauf) für \(t'\geq 0\) bis \(U_0 \cdot 10\,\%\).
  Lösung wie bei Aufgabe c) nur mit Entlade-Zeitkonstante \(\tau _2 = R_2 \cdot C\).
  Die Kapazität entlädt langsamer als in Aufgabe c) (\(\tau _2 > \tau \)), da \(R_2 > R_1||R_2\).

3 Schaltverhalten einer RL-Serienschaltung

Das Schaltverhalten, der in der linken Abbildung dargestellten Schaltung, soll untersucht werden.
Der Verlauf der Spannung \(u_1(t)\) ist in der rechten Abbildung dargestellt.

Vor dem Zeitpunkt \(t=0\) war die Spannung \(u_1 = 0\), so dass zum Zeitpunkt \(t=0\) keine Energie in der Spule gespeichert ist. Weiterhin gilt \(t_1 \gg 5\tau \).

• Es soll der Aufladevorgang (\(0<t<t_1\)) betrachtet werden. Es gilt \(\tau = 1\,ms\) und \(R=100\,\Omega \). Wie groß ist die Induktivität \(L\)?
• Es soll weiterhin der Aufladevorgang (\(0<t<t_1\)) betrachtet werden. Gegeben ist nun die Spannung \(U_0=1\,kV\). Wie groß ist der Strom durch die Spule \(i_L\) zum Zeitpunkt \(t=3\tau \)?

• Es wird weiterhin der Aufladevorgang betrachtet. Nun gilt jedoch: \(R = 5\,\Omega \), \(L=100\,mH\) und \(U_0=2,8\,kV\).

  • Nach welcher Zeit \(t_0\) ist der Einschwingvorgang abgeschlossen?
  • Wie groß sind der Spulenstrom \(i_L\) und die Spulenspannung \(u_L\) nach \(t=50\,ms\)?
• Nun soll der Entladevorgang (\(t>t_1\)) betrachtet werden. Es gelten die Werte aus dem vorangehenden Aufgabenteil. Wie groß sind Spulenstrom \(i_L\) und Spulenspannung \(u_L\) nach \(t=t_1 +50\,ms\)?
• Zeichnen Sie die zeitlichen Verläufe der Spulenspannung \(u_L\), des Stromes \(i_L\), sowie der Spannung \(u_R\). Kennzeichnen Sie die Zeitkonstante \(\tau \), sowie weitere charakteristische Punkte. Nehmen Sie an \(t_1 = 120\,ms\).