1 Elektrisches Feld

Im Folgenden gilt immer \(\varepsilon _r = 1\), falls nicht anders angegeben.

In der \(x\)-\(y\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems befinden sich auf der \(x\)-Achse im Abstand \(a\) zwei Punktladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) (siehe Abbildung). Es: \(Q_1 = Q\), \(Q_2 = 2Q\) und \(Q > 0\).

a)

Wie groß ist die Kraft \(F_2\) auf die Ladung \(Q_2\)?

b)

Berechnen und skizzieren Sie die elektrische Feldstärke \(\vec {E}\) im Punkt \(P\).

c)

Im Punkt \(P\) wird eine dritte Ladung \(Q_0 > 0\) positioniert. Welche Kraft \(F_0\) wirkt auf sie?

1.1 Lösung:

a)

Wie groß ist die Kraft \(F_2\) auf die Ladung \(Q_2\)? Betrag der Coulomb-Kraft auf Ladung im Feld einer Punktladung (laut Skirpt): \[ F_2 = Q_2 \cdot E_1 = Q_2 \cdot \frac {Q_1}{4\pi \varepsilon _0 a^2} \]

b)

Skizzieren und berechnen Sie die elektrische Feldstärke \(\vec {E}\) im Punkt \(P\). Die Positionen der Punktladungen und der Punkt \(P\) bilden ein gleichseitiges Dreieck, sodass sich darin und für die elektrischen Feldstärken jeweils Winkel von \(60^\circ \) ergeben.

Für die resultierende Feldstärke \(\vec {E}\) gilt zunächst: \[ \vec {E}=\vec {E}_1+\vec {E}_2 = \begin {bmatrix} E_{1x}\\ E_{1y} \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} E_{2x}\\ E_{2y} \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} E_{1x}+E_{2x}\\ E_{1y}+E_{2y} \end {bmatrix} = E_x\,\vec {e}_x+E_y\,\vec {e}_y \]

Dabei gelten für die Beträge (Abstand jeweils \(a\)): \[ E_1=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon _0 a^2}=\frac {Q}{4\pi \varepsilon _0 a^2}, \qquad E_2=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon _0 a^2}=\frac {2Q}{4\pi \varepsilon _0 a^2}. \]

Mit den trigonometrischen Funktionen folgt für die \(x\)-Komponenten: \[ \begin {aligned} E_{1x} &= E_1\cos (60^\circ )=\frac {1}{2}E_1,\\ E_{2x} &= -E_2\cos (60^\circ )=-\frac {1}{2}E_2,\\ E_x &= E_{1x}+E_{2x}=\frac {E_1-E_2}{2}=-\frac {Q}{8\pi \varepsilon _0 a^2}. \end {aligned} \]

Analog folgt für die \(y\)-Komponenten: \[ \begin {aligned} E_{1y} &= E_1\sin (60^\circ )=\frac {\sqrt {3}}{2}E_1,\\ E_{2y} &= E_2\sin (60^\circ )=\frac {\sqrt {3}}{2}E_2,\\ E_y &= E_{1y}+E_{2y}=\frac {\sqrt {3}}{2}\left (E_1+E_2\right ) = \frac {3\sqrt {3}\,Q}{8\pi \varepsilon _0 a^2}. \end {aligned} \]

Damit ergibt sich die resultierende Feldstärke: \[ \vec {E}=E_x\,\vec {e}_x+E_y\,\vec {e}_y = -\frac {Q}{8\pi \varepsilon _0 a^2}\,\vec {e}_x +\frac {3\sqrt {3}\,Q}{8\pi \varepsilon _0 a^2}\,\vec {e}_y. \]

c)

Im Punkt \(P\) wird eine dritte Ladung \(Q_0 > 0\) positioniert. Welche Kraft \(F_0\) wirkt auf sie?

Kraft auf Ladung \(Q_0\) im Punkt \(P\): \[ \vec {F}_0 = Q_0 \cdot \vec {E} \]

2 Ladungsträgergeschwindigkeit

Durch eine Kupferleitung mit dem Querschnitt \(A = 1 \ mm^2\) und mit der Länge \(L = 10 \ m\) fließt ein Strom \(I = 8 \ A\). Ein \(mm^3\) Kupfer enthält \(8,5\cdot 10^{19}\) Atome. Es darf davon ausgegangen werden, dass jeweils 1 Elektron pro Atom am Ladungstransport beteiligt ist.

Bestimmen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in der Kupferleitung.

2.1 Lösung:

Aus Skript bekannt:

\(\vec {v}_\mathrm {el} = - b_\mathrm {el} \cdot \vec {E}\)

Die Ladungsmenge \(\Delta Q\), die sich im betrachteten Volumen befindet, kann wie folgt berechnet werden:

\( \Delta Q = e \cdot N_\mathrm {el} = e \cdot n_\mathrm {el} \cdot V_1\)

Mit \(V_1 = \Delta s \cdot A\) und \(\Delta s = v_\mathrm {el} \cdot \Delta t\) ergibt sich:

\(\Delta Q = e \cdot n_\mathrm {el} \cdot v_\mathrm {el} \cdot \Delta t \cdot A\)

Für \(v_\mathrm {el}\) lässt sich nun die oben erwähnte Beziehung \(\vec {v}_\mathrm {el} = - b_\mathrm {el} \cdot \vec {E}\)
einsetzen. Da das negative Vorzeichen hier lediglich angibt, dass sich die Ladungsträger entgegen der elektrischen Feldstärke bewegen, und laut Aufgabenstellung lediglich der Betrag der Geschwindigkeit gefordert ist, kann das Vorzeichen hier vernachlässigt werden.

\( \Delta Q = e \cdot n_\mathrm {el} \cdot \Delta t \cdot A b_\mathrm {el} \cdot E\)

Da die Ladungsveränderung pro Zeitänderung die Stromstärke ergibt, gilt nach teilen durch \(\Delta t\):

\( \frac {\Delta Q}{\Delta t} = I = e \cdot n_\mathrm {el} \cdot A b_\mathrm {el} \cdot E\)

\(E\) ist in der Ausgansformel noch unbekannt, ein Umstellen nach E ergibt also:

\(E = \frac {I}{e \cdot n_\mathrm {el} \cdot b_\mathrm {el} \cdot A}\)

Eingesetzt in \(\vec {v}_\mathrm {el} = - b_\mathrm {el} \cdot \vec {E}\) regibt sich:

\(v_\mathrm {el} = \cancel {b_\mathrm {el}} \cdot \frac {I}{e \cdot n_\mathrm {el} \cdot \cancel {b_\mathrm {el}} \cdot A}\)

Einsetzen der Zahlenwerte:

\(v_\mathrm {el} = \frac {8 \mathrm {A}}{1,602 \cdot 10^{-19} \, \mathrm {As} \cdot 8,5 \cdot 10^{19} \, \mathrm {mm}^{-3} \cdot 1 \, \mathrm {mm}^2 }\)

\begin {equation*} v_\mathrm {el} = 0,59 \frac {\mathrm {mm}}{s} \end {equation*}