Einfache Widerstandsnetzwerke

Elektrische Netzwerke setzen sich häufig aus einfacheren Teilschaltungen zusammen. Oft ist es hilfreich, diese Teilschaltungen zu identifizieren, zu vereinfachen und anschließend zur Gesamtschaltung zusammenzufassen. Solche Zusammenfassungen von Bauelementen sind grundsätzlich zulässig, sofern sich das Klemmverhalten, also das Verhalten zwischen Strom und Spannung zwischen den Anschlusspunkten, nicht ändert.

1 Reihenschaltung von Widerständen

In einer Reihenschaltung werden alle Bauelemente vom gleichen Strom \(I\) durchflossen (siehe Abbildung 1).

Das Anwenden der Maschenregel (hier: Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn) führt zu folgender Maschengleichnung:

\begin {equation*} U_0 - U_1 - U_2 =0 \end {equation*}

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können die Teilspannungen \(U_1\) und \(U_2\) als Produkt aus Stromstärke und Widerstand dargestellt werden:

\begin {equation*} U_0 - R_1 \cdot I - R_2 \cdot I = 0 \end {equation*} \begin {equation*} U_0 - (R_1+R_2) \cdot I = 0 \end {equation*}

Die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) lassen sich in diesem Beispiel durch Addition ihrer Widerstandswerte zu \(R_1 + R_2 = R_\mathrm {ges}\) zusammenfassen (Abbildung 2).

Allgemein lässt sich die Gesamtspannung \(U_\mathrm {ges}\) nach diesem Prinzip folgendermaßen zusammenfassen:

\begin {equation} U_\mathrm {ges} = \sum _{k=1}^{n} U_k = \sum _{k=1}^{n} R_k \cdot I = R_\mathrm {ges} \cdot I \label {eq:gesamtwiderstand} \end {equation}

Ein Koeffizientenvergleich der letzten beiden Terme von Gleichung 1 liefert das allgemeingültige Ergebnis, um Widerstände in einer Reihenschaltung zusammenzufassen:

Betrachtet man statt der Widerstandswerte \(R\) die Leitwerte \(G = 1/R\) der Widerstände, ergibt sich für den Gesamtleitwert einer Reihenschaltung:

2 Parallelschaltung von Widerständen

In einer Parallelschaltung von Widerständen liegt an allen Bauelementen die selbe Spannung an (siehe Abbildung 3):

\begin {equation*} U_\mathrm {1} = U_\mathrm {2} = U_0 \end {equation*}

Durch das Anwenden der Knotenregel lässt sich zeigen, dass sich der Gesamtrom \(I_0\) vor den Widerständen in die Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) aufteilt:

\begin {equation} I_0 - I_1 - I_2 = 0 \label {eq:gesamtwiderstand2} \end {equation}

Wie bei der Reihenschaltung im Kapitel 4.1 ist es auch bei der Parallelschaltung von Widerständen häufig von Vorteil, diese zu einem Gesamtwiderstand \(R_\mathrm {ges}\) zusammenzufassen (siehe Abbildung 4):

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können die unbekannten Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) aus der Knotenregel (Gleichung 4) quantifiziert werden:

\begin {equation*} I_1 = \frac {U_0}{R_1}, \quad I_2 = \frac {U_0}{R_2} \end {equation*}

Eingesetzt in Gleichung 4 ergibt sich:

\begin {equation*} I_0 - \frac {U_0}{R_1} - \frac {U_0}{R_2} = 0 \end {equation*}

\begin {equation*} I_0 - \bigg ( \frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2} \bigg ) \cdot U_0 = 0 \end {equation*}

\begin {equation*} \rightarrow I_0 = U_0 \cdot \bigg ( \frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2} \bigg ) \end {equation*}

Ein Koeffizientenvergleich mit dem auf Abbildung 4 angewandten Ohmschen Gesetz ( \(I_0 = U_0 \cdot \frac {1}{R_\mathrm {ges}}\))

liefert für \(R_\mathrm {ges}\) im gezeigten Fall von zwei parallel geschalteten WIderständen:

\begin {equation*} \frac {1}{R_\mathrm {ges}} = \frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2} \end {equation*}

Das Ausmultiplizieren dieses Ausdrucks ergibt die in Rechnungen häufig genutzte Form:

\begin {equation} R_\mathrm {ges} = \frac {R_1\cdot R_2}{R_1 + R_2} \label {eq:r2parallel} \end {equation}

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung aus beliebig vielen Widerständen lässt sich mit Hilfe der allgemeinen Formel für Parallelschaltungen ermitteln:

Da der elektrische Leitwert durch den Kehrwert des Widerstandes \(G=1/R\) beschrieben wird, ist der Gesamtleitwert einer Parallelschaltung von Widerständen oft leichter zu berechnen:

3 Spannungsteiler an Widerständen

Ein Anwendungsfall der Reihenschaltung von zwei Widerständen ist der Spannungsteiler. Er wird genutzt, um eine Eingangsspannung \(U_0\) in zwei kleinere Teilspannungen aufzuteilen, und so eine genau definierte Ausgangsspannung \(U_2\) bereitzustellen.

3.1 Der unbelastete Spannungsteiler

Zunächst sei der in Abbildung 5 dargestellte Spannungsteiler unbelastet, d.h. es ist kein Lastwiderstand an den offenen Klemmen angeschlossen. Alle Bauelemente werden vom gleichen Strom \(I\) durchflossen:

\begin {equation*} I = \frac {U_1}{R_1} = \frac {U_2}{R_2} \end {equation*}

Durch Zusammenfassen der Reihenschaltung aus Widerständen ergibt sich:

\begin {equation*} I = \frac {U_0}{R_1+R_2} \end {equation*}

Durch Gleichsetzen der beiden Spannungsterme ergibt sich die Verhältnisgleichung:

\begin {equation*} \frac {U_2}{R_2} = \frac {U_0}{R_1+R_2} \end {equation*}

Isolieren der Ausgangsspannung auf der linken Seite des Gleichheitsszeichens führt letztendlich zur allgemeine Gleichung für den unbelasteten Spannungsteiler:

3.2 Der belastete Spannungsteiler

Wird die Ausgangsseite des Spannungsteilers wie in Abbildung 6 belastet, also beispielsweise ein Lastwiderstand \(R_\mathrm {L}\) hinzugefügt, so ergibt sich - von der Spannungsquelle aus gesehen - eine Parallelschaltung der Widerstände \(R_2\) und \(R_\mathrm {L}\).

Wird der Ersatzwiderstand \(R_\mathrm {neu}\) dieser Parallelschaltung über \(\frac {1}{R_\mathrm {neu}} = \frac {1}{R_2} + \frac {1}{R_\mathrm {L}}\) ermittelt, ändert sich das Verhältnis der Widerstände des Spannungsteilers, und folglich auch die Ausgangsspannung. Diese Änderung muss bei der Auslegung eines belasteten Spannungsteilers mit beachtet werden.

4 Stromteiler in Widerstandsnetzwerken

Eine wie in Abbildung 4 dargestellte Parallelschaltung von zwei Widerständen teilt einen in eine Schaltung fließenden Strom \(I_0\) in zwei Teilströme \(I_1\) sowie \(I_2\). Eine solche Schaltung wird als Stromteiler bezeichnet.

An allen Bauelementen dieser Schaltung liegt die identische Ausgangsspannung \(U_0\) an. Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes lässt sich diese Spannung über den Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) auch als Produkt von Widerstandswert und der Stromstärke umschreiben:

\begin {equation*} U_0 = I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2 \end {equation*}

Durch das wie in Abbildung 4 beschriebene Zusammenfassen der Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) zu \(R_\mathrm {ges}\) lässt sich der Gesamtstrom \(I_0\) in Abhängigkeit der Ausgangsspannung \(U_0\) ermitteln:

\begin {equation*} U_0 = I_0 \cdot R_\mathrm {ges} \end {equation*}

Durch Gleichsetzen der beiden Stromterme ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen \(I_0\) und \(I_2\)

\begin {equation*} I_2 \cdot R_2 = I_0 \cdot R_\mathrm {ges} \end {equation*}

Die Parallelschaltung \(R_\mathrm {ges}\) lässt sich wie in Gleichung 5 gezeigt direkt aus den beiden Widerstandswerten \(R_1\) und \(R_2\) errechnen:

\begin {equation*} I_2 \cdot R_2 = I_0 \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \end {equation*}

Das Kürzen von \(R_2\) resultiert im Teilungsverhältnis der elektrischen Stromstärke am Stromteiler:

5 Besondere Betriebszustände aktiver Zweipole

Aktive Zweipole lassen sich zu Ersatzspannungsquellen beziehungsweise Ersatzstromquellen zusammenfassen. Dies kann vor allem zur Vereinfachung von elektrischen Netzwerken dienlich sein.

5.1 Kurzschluss- und Leerlaufversuch an der Ersatzspannungsquelle

Die reale Spannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle besteht wie bereits aus Modul 3 Elektrische Bauelemente bekannt aus einer idealen Spannungsquelle \(U_0\) sowie einem Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\).

    

Ist die reale Spannungsquelle unbelastet, also kein Bauteil an den Ausgangsklemmen angeschlossen, fließt kein Strom \(I\)(siehe Abbildung 8).

\begin {equation*} I = 0 \end {equation*}

\begin {equation*} \rightarrow U_\mathrm {Ri} = R_\mathrm {i} \cdot I = 0 \end {equation*}

Da die Spannung über dem Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) 0 Volt beträgt, gilt für die Klemmspannung \(U\):

\begin {equation*} U = U_0 \end {equation*}

Wird die reale Spannungsquelle wie in Abbildung 9 gezeigt mit einem Widerstand \(R_\mathrm {a}\) belastet, fließt ein Strom \(I > 0\) durch die Leitung.

Folglich fällt an dem Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) eine Spannung \(U_\mathrm {Ri} = R_\mathrm {i} \cdot I\) ab, und die Klemmspannung beträgt

\begin {equation*} U = U_0 - U_\mathrm {Ri} \end {equation*}

Um den Spannungsabfall innerhalb der Spannungsquelle zu reduzieren, sollte der Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) möglichst klein gehalten werden:

\begin {equation*} U_0 << I \cdot R_\mathrm {i} \end {equation*}

Die Ersatzspannungsquelle

Jeder aktive Zweipol mit mindestens einer Quelle und beliebig vielen Widerständen kann zu einer Ersatzspannungsquelle (Abbildung 10) zusammengefasst werden. Wie bei einer realen Spannungsquelle genügt die Bestimmung einer idealen Spannungsquelle \(U_0\) sowie eines zusammengefassten Innenwiderstandes \(R_\mathrm {i}\), um die Ersatzspannungsquelle vollständig zu charakterisieren. Sie verfügt nach außen hin über ein vollständig gleichwertiges Klemmverhalten wie die originale Schaltung an ihren zwei Anschlussklemmen.

Wie bei einer belasteten realen Spannungsquelle ist die resultierende Ausgangsspannung \(U\) sowohl vom Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) als auch vom Belastungsstrom \(I\) abhängig (Abbildung 11):

\begin {equation*} U = U_0 - I \cdot R_\mathrm {i} \end {equation*}

Die zur Charakterisierung notwendigen Parameter \(U_0\) und \(R_\mathrm {i}\) können mit Hilfe von zwei Versuchen ermittelt werden: dem Kurzschlussversuch sowie dem Leerlaufversuch.

Beim Leerlaufversuch werden die beiden Klemmen der Ersatzspannungsquelle offen gelassen (Abbildung 12).

Da durch die offenen Klemmen der Strom \(I\) durch den Widerstand \(R_\mathrm {i}\) null Ampere beträgt, fällt auch keine Spannung über ihn ab. Die Leerlaufspannung ist also mit der Spannung \(U_0\) identisch:

Beim Kurzschlussversuch werden die beiden Klemmen des aktiven Zweipols direkt kurzgeschlossen, sprich eine ideal leitende Verbindung zwischen ihnen hergestellt (Abbildung 13).

Über dem so erzeugten Kurzschluss kann keine Ausgangsspannung \(U\) anliegen:

\begin {equation*} U = 0 \end {equation*}

Folglich fällt die gesamte von \(U_0\) generierte Spannung am Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) ab. Dem Ohmschen Gesetz folgend bestimmt dieser damit den Kurzschlussstrom \(I_\mathrm {K}\).

\begin {equation*} U_\mathrm {Ri} = U_\mathrm {L} =R_\mathrm {Ri} \cdot I_\mathrm {K} \end {equation*}

Der Kurzschlussstrom \(I_\mathrm {K}\) beträgt folglich:

\begin {equation*} I_\mathrm {K} = \frac {U_\mathrm {L}}{R_\mathrm {i}} \end {equation*}

Somit kann der Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) folgendermaßen berechnet werden:

Achtung: \(U_\mathrm {L}\) und \(I_\mathrm {K}\) sind in zwei vollkommen unabhängigen Versuchen bestimmte Größen, die nicht gleichzeitig auftreten. Die Formel sieht also nur wie Ohmsches Gesetz am Widerstand \(R_\mathrm {i}\) aus, ist es aber nicht.

5.2 Kurzschluss- und Leerlaufversuch an der Ersatzstromquelle

Die reale Stromquelle

Auch eine reale Stromquelle besteht aus einer idealen Stromquelle \(U_0\) sowie einem Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) (siehe Abbildung 14). Dieser ist im Gegensatz zur realen Spannungsquelle jedoch parallel anstatt in Reihe zur Quelle geschaltet.

Abhängig von der sich einstellenden Ausgangsspannung \(U\) fließt durch den endlichen Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) der Strom \(I_\mathrm {Ri} = U / R_\mathrm {Ri}\), der Ausgangsstrom \(I\) ergibt sich also zu

Um die Reduktion den Ausgangsstroms \(I\) durch den Innenwiderstand zu reduzieren, sollte dieser möglichst groß gewählt werden:

\begin {equation*} I_0 >> \frac {U}{R_\mathrm {i}} \end {equation*}

Die Ersatzstromquelle

Alternativ zur Ersatzspannungsquelle kann ein aktiver Zweipol auch als Ersatzstromquelle dargestellt werden (Abbildung 15). Auch sie kann durch eine ideale Stromquelle \(I_0\) sowie einen zusammengefassten Innenwiderstand \(R_\mathrm {i}\) vollständig charakterisiert werden.

Analog zur Ersatzspannungsquelle können auch hier die Parameter \(I_0\) sowie \(R_\mathrm {i}\) mit Hilfe des Leerlauf- und Kurzschlussversuchs bestimmt werden.

Beim Leerlaufversuch fließt der gesamte Strom \(I_0\) durch den Innenwiderstand. An den dazu parallel anliegenden Klemmen stellt sich die folgende Leerlaufspannung \(U_\mathrm {L}\) ein:

\begin {equation*} U_\mathrm {L} = R_\mathrm {i} \cdot I_0 \end {equation*}

Beim Kurzschlussversuch werden die beiden Klemmen der Ersatzstromquelle kurzgeschlossen. Da die Spannung über dem Kurzschluss und somit auch über dem dazu parallelgeschalteten Innenwiderstand null Volt beträgt, fließt durch \(R_\mathrm {i}\) kein Strom.

Der gesamte Strom \(I_0\) fließt also durch den Kurzschluss:

Mit \(U_\mathrm {L} = R_\mathrm {i} \cdot I_0\) kann nun der Innenwiderstand bestimmt werden:

5.3 Umwandlung von Spannungs- und Stromquellen

Bei der Netzwerkanalyse kann es sinnvoll sein, Stromquellen in Spannungsquellen oder Spannungsquellen in Stromquellen umzuwandeln. Dies funktioniert sowohl für reale Strom- bzw. Spannungsquellen, als auch für Ersatzstrom- bzw. Ersatzspannungsquellen identisch. Dabei bleibt der Wert des Innenwiderstandes \(R_\mathrm {i}\) identisch, seine Position im Ersatzschildbild ändert sich jedoch (siehe Abbildung 5.3)

Die Leerlaufspannung beziehungsweise der Kurzschlussstrom bleiben bei der Umwandlung der Quelle erhalten und werden auf die jeweils andere Quelle umgerechnet.

Achtung: Die Zählpfeile von ineinader umgewandelten Strom- und Spannungsquellen sind entgegengesetzt gerichtet!

Beim Umwandeln einer Stromquelle in eine Spannungsquelle beträgt die Spannung \(U_0\):

Die Stromstärke \(I_0\) beträgt beim Umwandeln einer Spannungsquelle in eine Stromquelle: