Einfache Kondensatornetzwerke

Wie Widerstände lassen sich auch Kapazitäten zu Netzwerken zusammenschließen. Die einfachen Grundschaltungen, welche wiederum zu beliebig komplexen Netzwerken zusammengeschaltet werden können, werden nachfolgend vorgestellt.

1 Parallelschaltung von Kapazitäten

Sind in einer Schaltung mehrere Kapazitäten parallel zueinander geschaltet, lassen sie sich zu einer Gesamtkapazität zusammenfasssen (siehe Abbildung 1).

Dabei liegt an allen Einzelkapazitäten die gleiche Spannung an:

\begin {equation*} U_0 = U_1 = U_2 \end {equation*}

Die Ladung, welche auf jedem der Einzelkondensatoren gespeichert ist, kann wie folgt bestimmt werden:

\begin {equation*} Q_k = C_k \cdot U_0 \end {equation*}

Die Gesamtladung \(C_\mathrm {ges}\) auf dem in Abbildung 1 Ersatzschaltbild entsprechend mit

\begin {equation*} Q_\mathrm {ges} = C_\mathrm {ges} \cdot U_0 \end {equation*}

Die Gesamtladung setzt sich aus der Summe der Einzelladungen zusammen:

\begin {equation*} Q_\mathrm {ges} = Q_1 + Q_2 = C_1 \cdot U_0 + C_2 \cdot U_0 \end {equation*}

\begin {equation*} Q_\mathrm {ges} = (C_1 + C_2) \cdot U_0 \end {equation*}

Ein Quotientenvergleich mit der ursprünglichen Berechnung der Gesamtladung \(Q_\mathrm {ges}\) zeigt nun:

\begin {equation*} \rightarrow C_1 + C_2 = C_\mathrm {ges} \end {equation*}

Auch für beliebig viele parallelgeschaltete Kapazitäten gilt, dass die Summe der Einzelkapazitäten die Gesamtkapazität ergibt:

2 Reihenschaltung von Kapazitäten

Bei der Reihenschaltung von Kapazitäten teilt sich die gesamte an den Eingangsanschlüssen anliegende Spannung \(U_\mathrm {0}\) in die Teilspannungen \(U_k\) an den einzelnen Kapazitäten auf (Abbildung 2).

Auf den jeweils mit den Anschlussklemmen verbundenen Kondensatorplatten wird eine Ladung \(\pm \, Q\) aufgeprägt. Beide Platten des selben Kondensators haben stets betragsgleiche Ladungen, was dazu führt, dass beide Kondensatoren an den Anschlussklemmen der Reihenschaltung auf beiden Platten die Ladung \(\pm \, Q\) haben. Die äußere Platte des jeweils nächsten angeschlossenen Kondensators muss betragsmäßig identisch mit umgekehrten Vorzeichen geladen sein, da aus der ursprünglich elektrisch neutralen Verbindung keine Ladungsträger entweichen oder hinzugefügt werden können. Diesem Schema folgend besitzen alle Kondensatoren einer Reihenschaltung die gleiche Ladung \(Q\).

Ausgehend von der Kondensator-Grundgleichung \(Q = C \cdot U\) ergibt sich für die Teilspannungen, welche an den in Abbildung 2 gezeigten Kondensatoren abfallen:

\begin {equation*} U_1 = \frac {Q}{C_1}, \quad \quad U_2 = \frac {Q}{C_2} \end {equation*}

Eingesetzt in das Ergebnis des Maschenumlaufs der Ausgangsschaltung ergibt sich:

\begin {equation*} U_0 = U_1 + U_2 = \left ( \frac {1}{C_1} + \frac {1}{C_2} \right ) \cdot Q \end {equation*}

Die Spannung \(U_0\) im Ersatzschaltbild kann wie folgt berechnet werden:

\begin {equation*} U_0 = \frac {1}{C_\mathrm {ges}} \cdot Q \end {equation*}

Ein Quotientenvergleich offenbart:

\begin {equation*} \frac {1}{C_1} + \frac {1}{C_2} = \frac {1}{C_\mathrm {ges}} \end {equation*}

Allgemein gilt für eine Reihenschaltung aus beliebig vielen Kondensatoren:

Bei zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren kann die Gesamtkapazität \(C_\mathrm {ges}\) analog zur Parallelschaltung von Widerständen auch mit folgendem Ausdruck ermittelt werden:

\begin {equation*} C_\mathrm {ges} = \frac {C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} \end {equation*}

3 Spannungsteiler an Kapazitäten

Ähnlich wie beim Spannungsteiler an in zwei in Reihe geschalteten Widerständen lässt sich auch das Verhältnis der Teilspannung an zwei in Reihe geschalteten, identisch geladenen Kondensatoren ermitteln (siehe Abbildung 3).

Die Spannung \(U_1\) kann wie folgt ermittelt werden:

\begin {equation*} U_1 = \frac {Q}{C_1} \end {equation*}

Die Ladung \(Q\) ist unbekannt, jedoch sowohl bei beiden Kondensatoren \(C_1\) und \(C_2\) als auch in der Ersatzschaltung bei \(C_\mathrm {ges}\) identisch:

\begin {equation*} Q = C_\mathrm {ges} \cdot U_0 = \frac {C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} \cdot U_0 \end {equation*}

Eingesetzt ergibt sich für \(U_1\):

\begin {equation*} U_1 = \frac {1}{\cancel {C_1}} \cdot \frac {\cancel {C_1} \cdot C_2}{C_1 + C_2} \cdot U_0 = U_0 \cdot \frac {C_2}{C_1 + C_2} \end {equation*}

Der Spannungsteiler für \(U_2\) berechnet sich analog: