Zeigerdiagramme in der Wechselstromtechnik

In der Wechselstromtechnik finden die komplexen Zahlen unter Anderem als Zeiger Verwendung. In linearen Netzwerken haben sinusförmige und monofrequente Quellengrößen nur sinusförmige und monorfequente Spannungen und Ströme zur Folge. Im Stationären Zustand unterscheiden sich die Spannungen und Ströme nur in ihrer Amplitude und der zugehörigen Phase. Alle Signale haben dabei eine identische Frequenz. Die Stationären und harmonischen Schwingungen können durch ihren Zeitverlauf im Liniendiagramm oder durch komplexe Zahlen durch Zeiger dargestellt werden. Die Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen ermöglicht die Darstellung durch ruhende Zeiger, wobei nur die relative Lage zueinander ausgedrückt wird.

1 Periodische Wechselspannung

In der Abbildung 1 wird ein Wechselspannungssignal mit dem Scheitelwert (Amplitudenwert) \(\hat {U}\) dargestellt. Der Versatz des Wechselspannungssignals auf der Abszisse wird durch den Zeitpunkt \(t_\mathrm {0}\) ausgedrückt. Der Punkt in dem das Wechselspannungssignal die Ordinate kreuzt gibt den Wechselspannungswert U zum Zeitpunkt t=0 an.

Das Wechselspannungssignal ist periodisch in T. Eine Periode wird bei dem angegebenen Wechselspannungsignal durch einen kompletten Durchlauf einer positiven und negativen Halbwelle definiert. So wird ab \(t_\mathrm {0}\) nach einer Periode der Zeitpunkt \(t_0+T\) und nach zwei Perioden der Zeitpunkt \(t_\mathrm {0+2T}\) erreicht.

Mit der Übertragung der angegebenen Werte auf ein Kreisdiagramm lässt sich der Zusammenhang der Wechselspannung mit der komplexen Darstellung erklären. Auf diese Weise kann die Wechselspannungsgröße \(U(t=0)\) zum Zeitpunkt 0 durch die Länge und Ausrichtung des Zeigers beschrieben werden. Der Scheitelwert enspricht der Länge des Zeigers im Kreisdiagramm. Der Winkel \(\varphi _\mathrm {u}\) beschreibt den Phasenwinkel zum Zeitpunkt \(t=0\).

Die Kreisfrequenz \(\omega \) kann mithilfe der Periodendauer T oder der Frequenz f angegeben werden. Weiter wird die Kreisfrequenz auch als Winkelgeschwindigkeit beschrieben. Über den Zusammenhang zwischen der Periodendauer und der Frequenz können die Größen ineinander umgerechnet werden. Die erläuterten Zusammenhänge werden in den Gleichungen 1 beschrieben.

\begin {equation} \omega = \frac {2\pi }{T} \text {\quad mit \quad } f=\frac {1}{T} \text {\quad wird \quad } \omega = 2\pi f \label {GleichungKreisfrequenz} \end {equation}

Angenommen der Durchlauf einer kompletten Periode bei einer Frequenz von 50 Hz dauert 20 ms (vgl. Abbildung 2). Übertragen auf das Gradmaß und das Radmaß ergeben sich so Winkelangaben für den Durchlauf einer Periode. Der Winkel nach der kompletten Periode T entspricht dem Umlauf eines vollen Kreises. Der Umlauf eines vollen Kreises entspricht dazu Die Phasenverschieben \(t_\mathrm {0}\) lässt sich auch in der Winkeldarstellung als Phasenwinkel \(\varphi _\mathrm {N}\) beschreiben.

Der zeitabhängige Spannungswert \(u(t)\) einer Wechselspannung ist von mehreren Einflussgrößen abhängig. Dazu gehören der Scheitelwert und die Frequenz der Wechselspannung sowie der dazugehörige Phasenwinkel. Über das Verhältnis vom Zeitpunkt t zur Periodendauer lässt sich \(u(t)\) bestimmen.

\begin {equation} u(t) = \hat {U} \cdot \sin (\omega t + \varphi _\mathrm {N}) = \hat {U} \cdot \sin (2\pi f t + \varphi _\mathrm {N}) = \hat {U} \cdot \sin (2\pi \frac {t}{T} + \varphi _N) \label {GleichungSpannung} \end {equation}

2 Komplexer Drehzeiger der Amplitude

Der komplexe Spannungswert sowie der komplexe Stromwert können als Zeiger dargestellt werden. Hier wird auf die Darstellungsart der Polar-Koordinaten zurückgegriffen.

Eine harmonische Wechselgröße kann als mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) rotierender Zeiger dargestellt werden. Die Zeitfunktion ist die Projektion des Zeigers auf die reelle Achse. Der rotierende Zeiger wird durch eine zeitabhängige komplexe Zahl beschrieben. Wie bei den komplexen Zahlen erklärt, können der Imaginärteil und der Realteil jeweils sparat bestimmt werden. Über die Winkelfunktionen kann der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Spannung berechnet werden.

Die Beschreibung von periodischen Größen an elektrischen Komponenten erfolgt durch feste Spannungszeiger und Stromzeiger. Das Verhalten der verschiedenen Komponenten ist dabei jeweils unterschiedlich. In der Abbildung 5 werden ein Widerstand, ein Kondensator als Kapazität und eine Spule als Induktivität mit ihren zugehörigen Spannungs- und Stromzeigern dargestellt. Das genaue Verhalten der drei Komponenten wird im folgenden Kapitel näher betrachtet.