1 Arbeit und Energie

Ein Elektromotor hebt eine Masse von \(m = 10\,\)kg um eine Höhe von 5 m.

• Berechnen Sie die verrichtete Arbeit.
• Wieviel Energie wird benötigt, wenn der Wirkungsgrad des Motors \(\eta = 80\,\%\) beträgt?

1.1 Lösung:

• \begin {flalign*} W &= m \cdot g \cdot h &&\\ W &= 10\,\mathrm {kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^2}}\cdot 5\,\mathrm {m} &&\\ W &= 490{,}5\,\mathrm {J} && \end {flalign*}
• \begin {flalign*} \text {Wirkungsgrad} &= \frac {\text {genutzte Energie}}{\text {aufgewendete Energie}} = \eta &&\\ E_\mathrm {zu} &= \frac {W}{\eta } = \frac {490{,}5\,\mathrm {J}}{0{,}8} = 613{,}125\,\mathrm {J} && \end {flalign*}

2 Höhenenergie im Stausee

Ein Stausee enthält \(2\,000\,000 \,\mathrm {m^3}\) Wasser auf einer Höhe von \(100 \,\mathrm {m}\).

• Berechne die gespeicherte potenzielle Energie. Gegeben ist die Dichte \(\rho = 1000\,\mathrm {kg/m^3}\, \text {und}\, \\ g = 9,81\,\mathrm {m/s^2}\)

2.1 Lösung:

• \begin {flalign*} E_{\text {pot}} &= m \cdot g \cdot h &&\\ m &= \rho \cdot V = 1000\,\mathrm {\frac {kg}{m^3}} \cdot 2\,000\,000\,\mathrm {m^3} = 2\,000\,000\,000\,\mathrm {kg} &&\\ E_{\text {pot}} &= 2\,000\,000\,000\,\mathrm {kg} \cdot 9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^2}} \cdot 100\,\mathrm {m} &&\\ E_{\text {pot}} &= 1{,}962 \cdot 10^{12}\,\mathrm {J} && \end {flalign*}

3 Bewegungsenergie eines Autos

Ein Auto mit der Masse 1200 kg fährt mit 72 km/h.

• Berechne die kinetische Energie.

3.1 Lösung:

• \begin {flalign*} E_{\text {kin}} &= \frac {1}{2}\, m\, v^2 &&\\ m &= 1200\,\mathrm {kg} &&\\ v &= 72\,\mathrm {km/h} = 72 \cdot \frac {1000\,\mathrm {m}}{3600\,\mathrm {s}} = 20\,\mathrm {m/s} &&\\ E_{\text {kin}} &= \frac {1}{2}\cdot 1200\,\mathrm {kg}\cdot \bigl (20\,\mathrm {\frac {m}{s}}\bigr )^2 &&\\ E_{\text {kin}} &= 240\,000\,\mathrm {J} && \end {flalign*}

4 Elektrische Energie eines Geräts

Ein Wasserkocher mit 2000 W läuft für 3 Minuten.

• Berechne, wie viel elektrische Energie er verbraucht hat.
• Wie viel Energie ist nötig, um 5 Liter Wasser von 20 °C auf 100 °C zu erwärmen?

4.1 Lösung:

• \begin {flalign*} P &= 2000\,\mathrm {W} &&\\ t &= 3\,\mathrm {min} = 180\,\mathrm {s} &&\\ E &= P \cdot t = 2000\,\mathrm {W} \cdot 180\,\mathrm {s} = 360\,000\,\mathrm {J} && \end {flalign*}
• \begin {flalign*} m &= 5\,\mathrm {kg} (\text {Dichte Wasser} \approx 1\,\mathrm {kg/L}) &&\\ c &= 4186\,\mathrm {\frac {J}{kg \cdot K}} (\text {spezifische Wärmekapazität von Wasser}) &&\\ \Delta T &= 100^\circ \mathrm {C} - 20^\circ \mathrm {C} = 80\,\mathrm {K} &&\\ Q &= m \cdot c \cdot \Delta T = 5\,\mathrm {kg} \cdot 4186\,\mathrm {\frac {J}{kg \cdot K}} \cdot 80\,\mathrm {K} = 1\,674\,400\,\mathrm {J} && \end {flalign*}

5 Energie und Leistung

Ein Heizgerät hat eine Leistungsaufnahme von \(P = 2\,\)kW und wird für \(t = 3\) h betrieben.

• Wie viel Energie wird verbraucht?
• Wenn der Strompreis \(p\) bei 0,30 €/kWh liegt, wie hoch sind die kosten \(c\) ?

5.1 Lösung:

• \begin {flalign*} E &= P\cdot t &&\\ E &= 2\,\text {kW} \cdot 3\,\text {h} = 6\,\text {kWh} && \end {flalign*}
• \begin {flalign*} c &= E \cdot p &&\\ c &= 6\,\mathrm {kWh} \cdot 0{,}30\,\frac {\mathrm {Euro}}{\mathrm {kWh}} = 1{,}80\,\mathrm {Euro} && \end {flalign*}

6 Wirkungsgrad

Ein Generator erzeugt eine elektrische Leistung von \(P_{\text {el}}\) = 1 kW, in dem er eine mechanische Leistung von \(P_{\text {mech}}\) = 1,5 kW aufnimmt.

• Berechne den Wirkungsgrad
• Wie groß muss \(P_{\text {mech}}\) sein, um \(P_{\text {el}}\) = 2 kW zu erzeugen?

6.1 Lösung:

• \begin {flalign*} \eta &= \frac {P_{\text {el}}}{P_{\text {mech}}} = \frac {1\,\text {kW}}{1{,}5\,\text {kW}} \approx 0{,}6667 \Rightarrow \eta \approx 66.67\% && \end {flalign*}
• \begin {flalign*} P_{\text {mech}} &= \frac {2\,\text {kW}}{0{,}6667} \approx 3\,\text {kW} && \end {flalign*}