1 Kirchhoffsche Gesetze

Berechnen Sie für die Schaltungen die Ströme, Spannungen und Leistungen an den Widerständen. Zeichnen Sie zu Ihren Ergebnissen alle Strom- und Spannungspfeile ein. Folgende Werte sind gegeben:

\(U_0 = 12 \ V; I_0 = 3 \ A; R_1 = 2 \ \Omega ; R_2 = 4 \ \Omega ; R_3 = 3 \ \Omega ; R_4 = 3 \ \Omega \)

a)

b)

a)

Parallelschaltung: \(U_0 = U_1 = U_2 = U_3\)

\(I_1 = \frac {U_0}{R_1} = \frac {12 \, \mathrm {V}}{2 \, \Omega } = 6 \, \mathrm {A}\)

\(I_2 = \frac {U_0}{R_2} = \frac {12 \, \mathrm {V}}{4 \, \Omega } = 3 \, \mathrm {A}\)

\(I_1 = \frac {U_0}{R_3} = \frac {12 \, \mathrm {V}}{3 \, \Omega } = 4 \, \mathrm {A}\)

\(I_0 = I_1 + I_2 + I_3 = 13 \, \mathrm {A}\)

Leistung bei Gleichspannung:
\(P = U \cdot I = \frac {U^2}{R} = I^2 \cdot R\)

\(P_1 = U_1 \cdot I_1 = 72 \, \mathrm {W} \)

\(P_2 = U_2 \cdot I_2 = 36 \, \mathrm {W} \)

\(P_3 = U_3 \cdot I_3 = 48 \, \mathrm {W} \)

\(P_\mathrm {ges} = P_1 + P_2 + P_3 = 156 \, \mathrm {W}\)

b)

Zum besseren Verständnis umzeichnen:

\(I_1 = I_0 = 3 \, \mathrm {A}\)

\(\rightarrow U_1 = R_1 \cdot I_1 = 2 \Omega \cdot 3 \, \mathrm {A} = 6 \, \mathrm {V}\)

\(I_2\)? Stromteilerregel:

\(I_2 = I_1 \cdot \frac {R_3 + R_4}{R_2 + R_3 + R_4} = 3 \, \mathrm {A} \cdot \frac {6 \, \Omega }{10 \, \Omega } = 1,8 \, \mathrm {A}\)

\(\rightarrow U_2 = R_2 \cdot I_2 = 4 \, \Omega \cdot 1,8 \, \mathrm {A} = 7,2 \, \mathrm {V}\)

Berechnung von \(U_4?\) Hier Spannungsteiler, theoretisch auch über Knotenregel möglich.

Über die Reihenschaltung \(R_3 + R_4\) liegt eine Gesamtspannung an, die genausogroß wie die dazu parallelgeschaltete Spannung \(U_2\) ist.

\(U_4 = U_2 \cdot \frac {R_4}{R_3 + R_4} = 7,2 \, \mathrm {V} \cdot \frac {3 \, \Omega }{6 \, \Omega } = 3,6 \, \mathrm {V}\)

\(I_{34} = \frac {U_4}{R_4} = \frac {3,6 \, \mathrm {V}}{3 \, \Omega } = 1,2 \, \mathrm {A}\)

\(U_3 = R_3 \cdot I_{34} = 1,2 \, \mathrm {A} \cdot 3 \Omega = 3,6 \, \mathrm {V}\)

Berechnung der Leistungen:

\(P_1 = U_1 \cdot I_1 = 18 \, \mathrm {W} \)

\(P_2 = U_2 \cdot I_2 = 12,96 \, \mathrm {W} \)

\(P_3 = U_3 \cdot I_{34} = 4,32 \, \mathrm {W} \)

\(P_4 = U_4 \cdot I_{34} = 4,32 \, \mathrm {W} \)

\(P_\mathrm {ges} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 39,6 \, \mathrm {W}\)

2 Kirchhoffsche Gesetze 2

Berechnen Sie für die Schaltung den Gesamtwiderstand \(R_{\mathrm {ges}}\) zwischen den Punkten A und B, die Ströme \(I_0\), \(I_3\), \(I_5\) und die Spannung \(U_6\). Folgende Werte sind gegeben:
\(R_1 = 5 \ \Omega ; R_2 = 10 \ \Omega ; R_3 = 15 \ \Omega ; R_4 = 20 \ \Omega ; R_5 = 25 \ \Omega ; R_6 = 40 \ \Omega ; U_0 = 80 \ V\).

Berechnen Sie für die Schaltung den Gesamtwiderstand \(R_{\mathrm {ges}}\) zwischen den Punkten A und B, die Ströme \(I_0\), \(I_3\), \(I_5\) und die Spannung \(U_6\). Folgende Werte sind gegeben:
\(R_1 = 5 \ \Omega ; R_2 = 10 \ \Omega ; R_3 = 15 \ \Omega ; R_4 = 20 \ \Omega ; R_5 = 25 \ \Omega ; R_6 = 40 \ \Omega ; U_0 = 80 \ V\).

Parallelgeschaltete Widerstände zusammenfassen:

Widerstände berechnen:

\(R_1 = 5 \, \Omega \)

\(R_{23} = \frac {R_2 \cdot R_3}{R_2+R_3} = \frac {10 \, \Omega \cdot 15 \, \Omega }{10 \, \Omega + 15 \, \Omega } = 6 \, \Omega \)

\(R_{456}\) über Kehrwert ausrechnen, im zweiten Schritt Hauptnenner bilden:

\(\frac {1}{R_{456}} = \frac {1}{R_4} + \frac {1}{R_5}+ \frac {1}{R_6} = \frac {R_4 \cdot R_5 + R_4 \cdot R_6 + R_5 \cdot R_6}{R_4 \cdot R_5 \cdot R_6}\)

\(\rightarrow R_{456} = \frac {R_4 \cdot R_5 \cdot R_6}{R_4 \cdot R_5 + R_4 \cdot R_6 + R_5 \cdot R_6} \)

\(R_\mathrm {ges} = R_1 + R_{23} + R_{456} = 19,7 \, \Omega \)

Gesamtstrom berechnen:

\(I_0 = \frac {U_0}{R_\mathrm {ges}} = \frac {80 \, \mathrm {V}}{19,7 \, \Omega } = 4,1 \, \mathrm {A}\)

Teilstrom \(I_3\) mittels Stromteiler berechnen:

\(I_3 = I_0 \cdot \frac {R_2}{R_2 + R_3} = 4,1 \, \mathrm {A} \cdot \frac {10 \, \Omega }{10 \, \Omega + 15 \, \Omega } = 1,6 \, \mathrm {A}\)

\(U_6\) mit Hilfe eines Spannungsteilers berechnen:

\(R_{123} = R_1 + R_{23} = 11 \Omega \)

Da die drei Widerstände parallel geschaltet sind, ist \(U_6 = U_{456}\)

\(U_6 = U_0 \cdot \frac {R_{456}}{R_{123} + R_{456}} = 80 \, \mathrm {V} \cdot \frac {8,7 \, \Omega }{11 \, \Omega + 8,7 \, \Omega } = 35,3 \, \mathrm {V}\)

\(I_5 = \frac {U_5}{R_5} = \frac {U_6}{R_5} = 1,4 \, \mathrm {A}\)

3 Kirchhoffsche Gesetze 3

Für die Brückenschaltung sind folgende Werte gegeben: \(R_1 = 4\ \mathrm {k}\Omega , R_2=20 \ \mathrm {k}\Omega , R_3 = 6 \ \mathrm {k}\Omega , R_4 = 20 \ \mathrm {k}\Omega \).
Der Innenwiderstand des Voltmeters kann als unendlich groß angenommen werden. Berechnen Sie die folgenden Größen:

a)

\(I_{13}\) und \(I_{24}\)

b)

\(U_1,\ U_2, \ U_3\) und \(U_4\)

c)

Die Spannung zwischen den Punkten A und B.

d)

Wann wäre die Brücke abgeglichen, d. h. wann ist die Spannung zwischen den Punkten A und B Null? Stellen Sie die Abgleichbedingung in möglichst allgemeiner Form als Funktion der Widerstände \(R_1\) bis \(R_4\) dar.

Für die Brückenschaltung sind folgende Werte gegeben: \(R_1 = 4\ \mathrm {k}\Omega , R_2=20 \ \mathrm {k}\Omega , R_3 = 6 \ \mathrm {k}\Omega , R_4 = 20 \ \mathrm {k}\Omega \).

Der Innenwiderstand des Voltmeters kann als unendlich groß angenommen werden. Berechnen Sie die folgenden Größen:

a)

\(I_{13}\) und \(I_{24}\)

Geringfügiges Umzeichnen erhöht die Übersicht:

Zwei Möglichkeiten, um Teilströme zu ermitteln: Stromteiler oder Ohm´sches Gesetz.

1. Möglichkeit: Stromteiler

Gesamtstrom \(I_0\) ermitteln:
\(I_0 = \frac {U_0}{R_\mathrm {ges}}\)
\(R_\mathrm {ges}= (R_1 + R_3)||(R_2+R_4) = \frac {(R_1+R_3) \cdot (R_2+R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} = \frac {10 \, \mathrm {k} \Omega \cdot 40 \, \mathrm {k} \Omega }{50 \, \mathrm {k} \Omega } = 8 \, \mathrm {k} \Omega \)
\(I_\mathrm {0} = \frac {24 \, \mathrm {V}}{8 \, \mathrm {k} \Omega } = 3 \, \mathrm {mA}\)

Teilstrom ausrechnen:
\(I_{13} = I_0 \cdot \frac {R_2+R_4}{R_1+R_2+R_3+R_4} = 3 \, \mathrm {mA} \cdot \frac {40 \, \mathrm {k} \Omega }{50 \, \mathrm {k} \Omega } = 2,4 \, \mathrm {mA}\)

Teilstrom \(I_{24}\) mittels Knotenregel ausrechnen:
\(I_0 = I_{13} + I_{24} \rightarrow I_{24} = I_0 - I_{13} = 3 \, \mathrm {mA}- 2,4 \, \mathrm {mA} = 0,6 \, \mathrm {mA}\)

2. Möglichkeit, die hier, aber nicht immer anwendbar ist: Ohm´sches Gesetz:

\(I_{13} = \frac {U_0}{R1+R_3} = \frac {24 \, \mathrm {V}}{10 \, \mathrm {k} \Omega } = 2,4 \, \mathrm {mA}\)

\(I_{24} = \frac {U_0}{R2+R_4} = \frac {24 \, \mathrm {V}}{40 \, \mathrm {k} \Omega } = 0,6 \, \mathrm {mA}\)

b)

\(U_1,\ U_2, \ U_3\) und \(U_4\)

2 Möglichkeiten: Spannungsteiler oder Ohm´sches Gestz:

Spannungsteiler:

\(U_3 = 24 \, \mathrm {V} \cdot \frac {R_3}{R1+R_3} = 14.4 \, \mathrm {V}\)
Alternativ:
\(U_3 = R_3 \cdot I_{13} = 14,4 \, \mathrm {V}\)

\(U_1\) kann beispielsweise mittels Maschenumlauf ermittelt werden, Spannungsteiler oder Ohm´sches Gesetz wären aber auch möglich:
\(U_1 = U_0 - U_3 = 24 \, \mathrm {V} - 14,4 \, \mathrm {V} = 9,6 \, \mathrm {V}\)

\(U_2 = R_3 \cdot I_{24} = 12 \, \mathrm {V}\)
\(U_4 = R_3 \cdot I_{24} = 12 \, \mathrm {V}\)

c)

Die Spannung zwischen den Punkten A und B.

Zur Bestimmung der Spannung \(U_\mathrm {AB}\) werden Maschen in das Ersatzschaltbild eingezeichnet:

\(M_1: U_2 - U_\mathrm {AB} - U_ 1 = 0\)
\(\rightarrow U_\mathrm {AB} = U_2 - U_1 = 12 \, \mathrm {V} - 9,6 \, \mathrm {V} = 2,4 \, \mathrm {V}\)

Kontrolle mit Masche \(M2\):

\(M2: U_\mathrm {AB} + U_4 - U_2 = 0\)
\(\rightarrow U_\mathrm {AB} = U_3 - U_4 = 14,4 \, \mathrm {V} - 12 \, \mathrm {V} = 2,4 \mathrm {V}\)

d)

Wann wäre die Brücke abgeglichen, d. h. wann ist die Spannung zwischen den Punkten A und B Null? Stellen Sie die Abgleichbedingung in möglichst allgemeiner Form als Funktion der Widerstände \(R_1\) bis \(R_4\) dar.

Es muss also gelten: \(U_\mathrm {AB} = 0 \, \mathrm {V}\)

Auf \(M1\) bezogen bedeutet dies: \(U_1 = U_2 \rightarrow I_{13} \cdot R_1 = I_{24} \cdot R_2\)
Umgestellt nach \(I_{24}\) ergibt sich: \(I_{24} = I_{13} \cdot \frac {R_1}{R_2}\)

Auf \(M2\) bezogen bedeutet dies: \(U_3 = U_4 \rightarrow I_{13} \cdot R_3 = I_{24} \cdot R_4\)

Durch Einsetzen des Ausdruckes für \(I_{24}\) aus \(M1\) in die Gleichungen von \(M2\) lässt sich \(I_{24}\) eliminieren und das Gleichungssystem lösen.

\(\rightarrow I_{13} \cdot R_3 = I_{13} \cdot \frac {R_1 \cdot R_4}{R_3}\)

\(\rightarrow \frac {R_1}{R_3} = \frac {R_2}{R_4}\)

4 Kirchhoffsche Gesetze 4

Gegeben ist die dargestellte Schaltung aus den drei Widerständen \(R_1, R_2\) und \(R_3\) und den beiden Quellen \(U_{\mathrm {Q}}\) und \(I_{\mathrm {Q}}\).

a)

Bestimmen Sie den Innenwiderstand der Schaltung bezüglich der Klemmen A und B.

b)

Berechnen Sie die Leerlaufspannung \(U_{\mathrm {ABL}}\) zwischen den Klemmen A und B.

c)

Geben Sie die Ersatzspannungsquelle für die Schaltung nach dem vorstehenden Bild an und kennzeichne die Größen.

d)

Welche Verlustleistung \(P_{\mathrm {V}}\) wird in der Schaltung nach dem vorstehenden Bild umgesetzt?

e)

Die Klemmen A und B werden kurzgeschlossen. Welcher Strom \(I_{\mathrm {K}}\) fließt durch diese Verbindung zwischen den Klemmen A und B?

f)

Welche Spannung \(U_{\mathrm {AB}}\) stellt sich ein, wenn an die Klemmen A und B ein Widerstand \(R\) angeschlossen wird? \((R_1 = R_2 = R_3 = R)\)

a)

Bestimmen Sie den Innenwiderstand der Schaltung bezüglich der Klemmen A und B.

Zum bestimmen des Innenwiderstandes:

• Stromquellen öffnen
• Spannungsquellen kurzschließen

\( R_\mathrm {i,AB}= R_3 + \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\)

b)

Berechnen Sie die Leerlaufspannung \(U_{\mathrm {ABL}}\) zwischen den Klemmen A und B.

Zur Bestimmung der Leerlaufspannung oft sinnvoll: Stromquelle in Spannungsquelle umrechnen:

• Parallelgeschalteten Innenwiderstand in Reihe schalten
• Spannungspfeil der Ersatzspannungsquelle entgegen dem ursprünglichen Strompfeil zeichnen

\(I_\mathrm {R3} = 0 \rightarrow U_\mathrm {R3} = 0\) 

\(U_\mathrm {AB,L} = U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} + I_\mathrm {Q} \cdot R_3\)

c)

Geben Sie die Ersatzspannungsquelle für die Schaltung nach dem vorstehenden Bild an und kennzeichne die Größen.

\(U_0 = U_\mathrm {AB,L} = U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} + I_\mathrm {Q} \cdot R_3\)

\( R_\mathrm {i} = R_\mathrm {i,AB}= R_3 + \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\)

d)

Welche Verlustleistung \(P_{\mathrm {V}}\) wird in der Schaltung nach dem vorstehenden Bild umgesetzt?

\(P_\mathrm {V} = P_1 + P_2 + P_3 = U_\mathrm {R1} \cdot I_1 + U_\mathrm {R2} \cdot I_2 + U_\mathrm {R3} \cdot I_3\) 

\(= U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} \cdot \frac {U_\mathrm {Q}}{R_1+R_2} +U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac {U_\mathrm {Q}}{R_1+R_2} + R_3 \cdot I_\mathrm {Q} \cdot I_\mathrm {Q} \)

\(= U_\mathrm {Q}^2 \cdot \frac {R_1}{(R_1+R_2)^2} + U_\mathrm {Q}^2 \cdot \frac {R_2}{(R_1+R_2)^2} + I_\mathrm {Q}^2 \cdot R_3 = \frac {U_\mathrm {Q}^2}{R_1+R_2} +I_\mathrm {Q}^2 \cdot R_3 \)

e)

Die Klemmen A und B werden kurzgeschlossen. Welcher Strom \(I_{\mathrm {K}}\) fließt durch diese Verbindung zwischen den Klemmen A und B?

MI: \(R_1 \cdot I_1\) + \(R_2 \cdot I_2\) - \(U_0\) = 0
MII: \(- R_2 \cdot I_2 \) + \(R_3 \cdot I_\mathrm {K}\) - \(I_\mathrm {Q} \cdot R_3\) = 0
KI: \(I_1\) - \(I_2\) - \(I_\mathrm {K}\) = 0

3 Gleichungen, 3 Unbekannte \(\rightarrow \) Lösung über beispielsweise über Gauss-Algorithmus möglich.

Einfacher:
ESB aus c)

\(U_0 = U_\mathrm {AB,L} = U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} + I_\mathrm {Q} \cdot R_3\)

\( R_\mathrm {i} = R_\mathrm {i,AB}= R_3 + \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\)

\(\rightarrow I_\mathrm {K} = \frac {U_0}{R_\mathrm {i}}= \frac {U_\mathrm {Q}\cdot R_2 + I_\mathrm {Q} \cdot R_3 \cdot (R_1+R_2)}{R_1 \cdot R_2 + R_3 \cdot (R_1+R_2)} \)

f)

Welche Spannung \(U_{\mathrm {AB}}\) stellt sich ein, wenn an die Klemmen A und B ein Widerstand \(R\) angeschlossen wird? \((R_1 = R_2 = R_3 = R)\)

Aus c), Widerstand \(R\) eingefügt

\(R_\mathrm {i} = \frac {R \cdot R}{R + R} + R= \frac {1}{2} \cdot R + R = \frac {3}{2} \cdot R\)

Aus d): \(U_0 = U_\mathrm {Q} \cdot \frac {R}{R+R} + R \cdot I_\mathrm {Q} = \frac {1}{2} U_\mathrm {Q} + R \cdot I_\mathrm {Q}\)

Spannungsteiler:

\(U_\mathrm {AB} = U_0 \cdot \frac {R}{2,5 \cdot R}\)

\( = 0,4 \cdot U_0 = U_\mathrm {Q} \cdot 0,5 \cdot 0,4 + I_\mathrm {Q} \cdot R \cdot 0,4 = 0,2 \cdot U_\mathrm {Q} + 0,4 \cdot R \cdot I_\mathrm {Q}\)