1 Knotenpotentialverfahren 2

Im folgenden Netzwerk werden zwei parallel verschaltete Ersatzschaltbilder von Batteriezellen dargestellt. Sie bestehen aus den Spannungsquellen \(U_1\) und \(U_2\) sowie den Innenwiderständen \(R_{i1}\) und \(R_{i2}\). Führen Sie die Analyse mit dem Knotenpotentialverfahren durch.

a)

Formen Sie das Netzwerk um, sodass das Knotenpotentialverfahren anwendbar wird.

b)

Stellen Sie die Kontenadmittanzmatrix (KAM) auf.

c)

Stellen Sie den Vektor der Knoteneinströmungen (I) auf.

d)

Lösen Sie das Gleichungssystem und berechnen Sie die Spannung \(U_0\) zwischen den Klemmen \(A\) und \(B\).

• Umwandlung:

  

  \begin {equation} I_1 = \frac {U_1}{R_\mathrm {i1}} = \frac {0,8\ V}{4,8\ \Omega } = 166\ mA \qquad I_2 = \frac {U_2}{R_\mathrm {i2}} = \frac {1,5\ V}{0,8\ \Omega } = 1,875\ A \nonumber \end {equation}

  \begin {equation} G_\mathrm {i1} = \frac {1}{R_\mathrm {i1}} = \frac {1}{4,8\ \Omega } = 208\ m\Omega \qquad G_\mathrm {i2} = \frac {1}{R_\mathrm {i2}} = \frac {1}{0,8\ \Omega } = 1,25\ \Omega \nonumber \end {equation}

• Kontenadmittanzmatrix:

  \begin {equation} KAM = (G_\mathrm {i1} + G_\mathrm {i2}) = 208\ m\Omega + 1,25\ \Omega \nonumber \end {equation}

• Vektor der Knoteneinströmungen:
  

  \begin {equation} I = (I_1 + I_2) = 166\ mA + 1,875\ A \nonumber \end {equation}

• Gleichungssystem lösen:
  

  \begin {align} KAM \cdot U &= I \nonumber \\ (G_\mathrm {i1} + G_\mathrm {i2}) \cdot U_0 &= (I_1 + I_2) \nonumber \\ (208\ m\Omega + 1,25\ \Omega ) \cdot U_0 &= (166\ mA + 1,875\ A) \nonumber \\ U_0 = \frac {I_1 + I_2}{G_\mathrm {i1} + G_\mathrm {i2}} &= \frac {166\ mA + 1,875\ A}{208\ m\Omega + 1,25\ \Omega } = 1,4\ V \nonumber \end {align}