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1 Einschaltverhalten eines RC-Übertragungsgliedes

Gegeben ist das rechts dargestellte Übertragungsglied (Zweitor). Untersucht wird das Einschwingverhalten der Spannung $u_2$ am Ausgang bei Anschließen einer idealen Gleichspannungsquelle $U_q$.

Die Schaltung ist vor dem Schaltzeitpunkt $t=0$ im stationären Zustand mit $u_2(t<0) = 0$.

a): Stellen Sie die DGL für $u_C$ für $t \geq 0$ auf.
b): Bestimmen Sie die Funktion $u_C(t)$ für $t \geq 0$ inklusive aller Konstanten.
c): Bestimmen Sie die Funktion $u_2$ für $t \geq 0$ aus der Lösung b) für $u_C(t)$. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

Schaltbild: Eine ideale Gleichspannungsquelle Uq
wird über einen Schalter an eine Serienschaltung aus
R1 und R2 und C angeschlossen. Spannung u1 über
allen drei Bauteilen. Spannung u2 nur über R2 und
C.

d): Skizzieren Sie qualitativ die Zeitverläufe der Spannungen $u_2$, $u_{R_2}$ und $u_C$ vom stationären Zustand für $t<0$ bis die dargestellten Größen eingeschwungen sind ($t=5\tau $). Kennzeichnen Sie Zeitkonstanten, Anfangs- und Endwerte der Verläufe.

a): DGL für $u_C(t \geq 0)$: \begin {align*} R_1 \cdot i + R_2 \cdot i + u_C &= U_q \\ \underbrace {(R_1 + R_2) \cdot C}_{\ =\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C &= U_q \end {align*}
b): Zeitverlauf $u_C$ für $t\geq 0$: \begin {align*} u_{C,\mathrm {f}}=u_{C,\mathrm {h}} &= K \cdot e^{-\frac {t}{\tau }} &&\text {mit } \tau = (R_1 + R_2) \cdot C \\ u_{C,\mathrm {e}}=u_{C,\mathrm {p}} &= U_q \\ u_C = u_{C,\mathrm {f}} + u_{C,\mathrm {e}} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {e^{0}} + U_q \overset {!}{=} 0 &&\Longrightarrow K = - U_q \\ u_C(t) &= \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \end {align*}
c): Spannung $u_2(t)$ aus $u_C(t)$ für $t \geq 0$: \begin {align*} u_2 &= i \cdot R_2 + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {C \cdot R_2}{\tau } \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {R_2}{R_1 + R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 + \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 - \frac {R_1}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \end {align*}

d): Skizze für $u_C$, $u_2$ und $u_{R_2}$. \begin {align*} u_{R_2}(0^-) &= u_2(0^-) = 0 \\ u_{R_2}(0^+) &= u_2(0^+) = \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot U_q \end {align*}

Plot: Zeitverlauf der Spannungen uC und u2 und uR2
bei Einschaltvorgang einer Serienschaltung aus R1
und R2 und C. Die Spannung uC nähert sich von null
exponentiell Uq an. Die Spannung uR2 springt von
null auf Uq*R2/(R1+R2) und fällt dann exponentiell
auf null ab. Die Spannung u2 springt auf den selben
Wert und nähert sich dann exponentiell der Spannung
Uq. Alle drei Exponentialverläufe haben die gleiche
Zeitkonstante tau. Deren Tangenten schneiden nach
exakt ihren jeweiligen Endwert nach exakt einem
tau.

2 Einschaltverhalten (DC) eines verlustbehafteten Kondensators

Das Einschaltverhalten der dargestellten Schaltung soll untersucht werden.

Schaltbild: Eine RC Schaltung mit zwei Widerständen wird mit Schalter vom Kurzschluss zum Anschluss an
eine Gleichspannungsquelle Uq geschaltet. Die RC Schaltung besteht aus R1 in Reihe mit der
Parallelschaltung aus R2 und C.

Zum Zeitpunkt $t = 0$ wird der Schalter umgelegt, so dass die Gleichspannung $U_q$ an der Schaltung anliegt. Die Kapazität ist vor dem Schaltzeitpunkt vollständig entladen.

a): Bestimmen Sie die Gleichung für die Spannung an der Kapazität $u_C(t)$ für $t \geq 0$.
b): Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannungen $u_C(t)$ und $u_{R1}(t)$ sowie des Stromes $i_C(t)$. Kennzeichnen Sie charakteristische Punkte.
c): Nach vollständigem Aufladen der Kapazität $C$ auf $U_{0}$ wird der Schalter wieder in Ausgangsposition gebracht. Wie lange braucht die Kapazität $C$, um auf $10\,\%$ der Spannung $U_{0}$ zu entladen?
d): Die Kapazität wird wie in c) entladen, allerdings mit offenem Schalter (Leerlauf). Wie lange dauert der Entladevorgang (von $U_0$ bis $10\,\%\cdot U_0$)? Vergleichen Sie die Dauer mit der aus c).

a) ESB ($t \geq 0$): $U_q$ an Schaltung: $R_1$ in Serie mit Parallelschaltung aus $R_2$ und $C$.

1. DGL aufstellen für $u_C$ ($t \geq 0$) \begin {align*} u_{R1} + u_C &= U_q & u_{R_1} &= R_1 \cdot i_{R1}\\ R_1 \cdot i_{R1} + u_C &= U_q & i_{R1} &= i_{R2} + i_C\\ R_1 \cdot (i_C + i_{R2}) + u_C &= U_q & i_C &= C \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C \qquad i_{R2} = \frac {u_C}{R_2}\\ C \cdot R_1 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + \frac {R_1}{R_2} \cdot u_C + u_C &= U_q &&\Big | \cdot R_2\\ C \cdot R_1 \cdot R_2 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + \left (R_1 + R_2 \right ) \cdot u_C &= U_q \cdot R_2 &&\Big | : (R_1+R_2)\\ \underbrace {C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}}_{\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C + u_C &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \end {align*}

2. Homogene Lösung und 3. Partikuläre Lösung ($t \to \infty $) \begin {align*} u_{C,h} &= K \cdot \mathrm {e}^{\lambda t} = K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} & \tau &= C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2} \\[2pt] u_{C,p} &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} & &\text {$C$ entspricht Leerlauf} \end {align*}

4. Überlagerung und 5. Konstante $K$ bestimmen \begin {align*} u_C(t) = u_{C,h} + u_{C,p} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {\mathrm {e}^{0}} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \overset {!}{=} 0 & \Rightarrow K &= -U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(t) &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \left ( 1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \end {align*}

b) Skizze $u_C(t)$, $u_{R_1}$ und $i_C$ mit $u_C(t)$ aus a): \begin {align*} u_{R1}(t) &= U_q - u_C(t) \\ &= U_q - U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \left ( 1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \\ &= U_q \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \\[4pt] i_C(t) &= C \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, u_C(t) \\ &= C \cdot U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac {1}{\tau } \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \\ &= U_q \cdot \frac {\cancel {C} \cdot \cancel {R_2}}{\cancel {R_1+R_2}} \cdot \frac {\cancel {R_1+R_2}}{\cancel {C} \cdot R_1 \cdot \cancel {R_2}} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\\ &= \frac {U_q}{R_1} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \end {align*}

Zeitverläufe:

c): Entladen von $C$ über Parallelschaltung aus $R_1$ und $R_2$ für $t'\geq 0$ bis $U_0 \cdot 10\,\%$
Entlade-Zeitkonstante: $\tau _1= \tau = C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}$: \begin {align*} u_C(t') = U_0 \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &\overset {!}{=} U_0 \cdot 10\,\% \\ \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &= \frac {1}{10} \\ -\frac {t'}{\tau } &= \ln \left (\frac {1}{10}\right ) = -\ln \left (10\right ) \\ t' &= \ln \left (10\right ) \cdot \tau \approx 2,3025 \cdot \tau \end {align*}
d): Entladen von $C$ über $R_2$, wenn Schalter öffnet (Leerlauf) für $t'\geq 0$ bis $U_0 \cdot 10\,\%$.
Lösung wie bei Aufgabe c) nur mit Entlade-Zeitkonstante $\tau _2 = R_2 \cdot C$.
Die Kapazität entlädt langsamer als in Aufgabe c) ($\tau _2 > \tau $), da $R_2 > R_1||R_2$.

3 Schaltverhalten einer RL-Serienschaltung

Das Schaltverhalten, der in der linken Abbildung dargestellten Schaltung, soll untersucht werden.
Der Verlauf der Spannung $u_1(t)$ ist in der rechten Abbildung dargestellt.

Schaltbild: Gezeigt ist
eine RL Reihenschaltung
mit Spannung u1 über R
und L.

Plot: Gezeigt ist der
rechteckförmige
Zeitverlauf der
Spannung u1. Diese
springt bei t=0 von 0
auf Uq. Bei t=t1 springt
sie zurück auf 0.

Vor dem Zeitpunkt $t=0$ war die Spannung $u_1 = 0$, so dass zum Zeitpunkt $t=0$ keine Energie in der Spule gespeichert ist. Weiterhin gilt $t_1 \gg 5\tau $.

a)

Es soll der Aufladevorgang ($0<t<t_1$) betrachtet werden. Es gilt $\tau = 1\,ms$ und $R=100\,\Omega $. Wie groß ist die Induktivität $L$?

b)

Es soll weiterhin der Aufladevorgang ($0<t<t_1$) betrachtet werden. Gegeben ist nun die Spannung $U_0=1\,kV$. Wie groß ist der Strom durch die Spule $i_L$ zum Zeitpunkt $t=3\tau $?

c)

Es wird weiterhin der Aufladevorgang betrachtet. Nun gilt jedoch: $R = 5\,\Omega $, $L=100\,mH$ und $U_0=2,8\,kV$.

c1): Nach welcher Zeit $t_0$ ist der Einschwingvorgang abgeschlossen?
c2): Wie groß sind der Spulenstrom $i_L$ und die Spulenspannung $u_L$ nach $t=50\,ms$?

d)

Nun soll der Entladevorgang ($t>t_1$) betrachtet werden. Es gelten die Werte aus dem vorangehenden Aufgabenteil. Wie groß sind Spulenstrom $i_L$ und Spulenspannung $u_L$ nach $t=t_1 +50\,ms$?

e)

Zeichnen Sie die zeitlichen Verläufe der Spulenspannung $u_L$, des Stromes $i_L$, sowie der Spannung $u_R$. Kennzeichnen Sie die Zeitkonstante $\tau $, sowie weitere charakteristische Punkte. Nehmen Sie an $t_1 = 120\,ms$.

\begin {align*} \text {DGL (allgemein):}&& \frac {L}{R}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i &= \frac {U_1}{R_1} \text {(Einschalten)}\\ \text {Lösungsansatz:}&& i &= \frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\text {mit}\tau =\frac {L}{R} \end {align*}

a) Induktivität berechnen.

$\tau =\frac {L}{R}$ $L=\tau \cdot R=1\,ms\cdot 100\,\Omega =0,1\,H$

b) Aufladevorgang, Spulenstrom $i_L$ zum Zeitpunkt $t=3\tau $.\begin {align*} i(t=3\cdot \tau ) &= \frac {U_0}{R}(1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &=\frac {1\,kV}{100\,\Omega }\cdot (1-e^{-3}) = 10\,A\cdot 0,95\\ &=9,5\,A \end {align*}

c) Zeit bis zum Abschluss des Einschwingvorgangs, Spulen -Strom und -Spannung nach $50\,ms$.\begin {align*} \tau &=\frac {L}{R}=\frac {0,1\,H}{5\,\Omega }=0,02\,s=20\,ms\\\\ i(t=50\,ms)&=\frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &=\frac {2,8\,kV}{5\,\Omega }\cdot (1-e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}})\\ &=0,56\,kA\cdot (0,918)=0,514\,kA\\\\ u_L&=L\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t} i_L = \frac {L}{R}\cdot U_0 \cdot (-\frac {1}{\tau })\cdot (-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &= U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\\\ u_L(t=50\,ms)&=2,8\,kV\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=229,8\,V\\ t_0&=5\cdot \tau =5\cdot 20\,ms=100\,ms \end {align*}

d) Entladevorgang, Spulen -Strom und -Spannung nach $t = t_1 + 50\,ms$.\begin {align*} \text {DGL (Entladevorgang):}&& \frac {L}{R}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i+i &=0\\ \text {Lösungsansatz:}&& i &= \frac {U_0}{R}\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\text {mit}\tau =\frac {L}{R}\\ \end {align*}

\begin {align*} u_L&=L\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t} i = \frac {L}{R}\cdot u_0\cdot (-\frac {1}{\tau })\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ &=-U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ i(50\,ms)&=\frac {2,8\,kV}{5\Omega }\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=46\,A\\ u_L(50\,ms)&=-2,8\,kV\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=-230\,V \end {align*}

e) Zeitliche Verläufe von $u_L, i_L, u_R$.

4 Einschaltverhalten einer RL-Serienschaltung

Das Einschaltverhalten einer Serienschaltung aus ohmschem Widerstand $R$ und Induktivität
$L=100\,mH$ soll untersucht werden. Zum Zeitpunkt $t=0$ wird an die Serienschaltung eine Spannung $u=U_0 = 35\,V$ angelegt. Für $t\leq 0$ gilt $u=0$. Die Spulenspannung zum Zeitpunkt $t_1=3\,ms$ ist bekannt und beträgt $u_L(t_1)= 26\,V$.
Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau $, den Widerstand $R$, sowie die Spannung $u_R(t=5\,ms)$.

\begin {align*} \text {DGL:}&&\frac {L}{R}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t} i+i&=\frac {U_0}{R}\\ \text {Lösung:}&&i&=\frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\text {mit} \tau = \frac {L}{R} \end {align*}

\begin {align*} u_L &= L\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t} i =U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ u_R &= u-u_L = U_0\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ i(t=3\,ms)&= \frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ u_L(t=3\,ms)&= U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }} = 26\,V\\ \frac {u_L(t=3\,ms)}{U_0}&=e^{-\frac {t}{\tau }}\\ -\frac {t}{\tau }&=\ln \left (\frac {u_L(t=3ms)}{U_0}\right )\\ \tau &=-\frac {t}{\ln \left (\frac {u_L(t=3ms)}{U_0}\right )} = -\frac {3ms}{\ln \left (\frac {26\,V}{35\,V}\right )} = 10,1\,ms\\ R &= \frac {L}{\tau } = \frac {100\,mH}{10,1\,ms} = 9,9\,\Omega \\ u_R(t=5\,ms)&=U_0\cdot (1-e^\frac {-5\,ms}{10,1\,ms})\\ &=35\,V\cdot 0,39 = 13,65\,V \end {align*}

5 ET3 Ü8 Schaltverhalten eines RC-Netzwerks

Der Schalter in der rechts dargestellten Schaltung wird zum Zeitpunkt $t=0$ geschlossen.

	$R_1 = 1{,}2\,\text k \Omega $	$R_2 = 2\,\text k \Omega $
	$C_1 = 1\,\mu \text F$	$R_3 = 500\,\Omega $
	$U_q = 250\,\text {V}$

Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes $i_3$ durch den Widerstand $R_3$ und zeichnen Sie diesen als Funktion von der Zeit (Liniendiagramm) für $-\tau <t<5\tau $.

Das Netzwerk sei zum Zeitpunkt $-\tau $ in einem stationären Zustand. Dabei ist $\tau $ die Zeitkonstante des Netzwerks.

Schaltbild: Zu sehen ist eine
H-Brückenschaltung mit Anschluss an
eine ideale Gleichspannungsquelle Uq.
Die Brückenschaltung besteht aus
drei Widerständen und einer
Kapazität. Der linke Strang besteht
aus R1 oben und C unten. Der rechte
Strang besteht aus R2 oben und R3
unten. In der Mitte des H sind beide
Stränge jeweils mittig über einen
Schalter miteinander verbunden.

DGL für $u_C$ aufstellen und darüber mit $i_3=\frac {u_C}{R_3}$ den Strom $i_3$ bestimmen.
$R_1$ und $R_2$ nach dem Schaltzeitpunkt ($t>0$) als Parallelschaltung $R_{12}$ zusammenfassen.

1. DGL für $u_C$ ($t > 0$) mit $i_3=\frac {u_C}{R_3}$: \begin {align*} U_q &= u_{12} + u_C &&\text {mit} u_{12} {\text { über Parallelschaltung aus $R_1$ und $R_2$}}\\ &= R_{12} \cdot i_{12} + u_C &&\text {mit} R_{12}=R_1||R_2,& i_{12}&=i_C+i_3\\ &= R_{12} \cdot (i_C + i_3) + u_C &&\text {mit} i_{C}=C\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\,u_C,& i_3&=\frac {u_C}{{R_3}}\\ &= R_{12} \cdot (C \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\,u_C + \frac {u_C}{{R_3}}) + u_C\\ &= C \cdot R_{12} \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\,u_C + \left ( \frac {R_{12}}{{R_3}} + 1 \right ) \cdot u_C& &\bigg |\ \cdot R_3\\ U_q \cdot R_3 &= C \cdot R_{12} \cdot R_3 \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\,u_C + \left (R_{12}+R_3\right ) \cdot u_C& &\bigg | :\left (R_{12}+R_3\right )\\ U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3} &= \underbrace {C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3}}_{\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\,u_C + u_C& &\Longrightarrow \tau =C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} \end {align*}

3. Homogene Lösung (flüchtig) und 2. Partikuläre Lösung ($t \to \infty $, eingeschwungen): \begin {align*} u_{C,\mathrm {h}} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}& &\text {mit} \tau =C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} \\ u_{C,\mathrm {p}} &= U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3}& &\text {$C_1$ entspricht Leerlauf} \end {align*}

4. Überlagerung und 5. Konstante(n) bestimmen: \begin {align*} u_C &= u_{C,\mathrm {h}} + u_{C,\mathrm {p}}\\ u_C(t=0) &= K \cdot \cancel {\mathrm {e}^{0}} + U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \overset {!}{=} U_q& &\text {(Anfangsbedingung)}\\ \Rightarrow K &= U_q \cdot \left ( 1 - \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \right )\\ &= U_q \cdot \frac {R_{12}}{R_{12}+R_3}\\[2pt] u_C &= U_q \cdot \left ( 1 - \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \right ) \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3}& &\bigg | :R_3\\[2pt] i_3 &= U_q \cdot \left ( \frac {1}{R_3} - \frac {1}{R_{12}+R_3} \right ) \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {1}{R_{12}+R_3} \end {align*}

Zeitkonstante $\tau $ sowie Anfangs- und Endwerte des Stromes $i_3$ für Skizze:

\begin {align*} R_{12} &= R_1||R_2 = \frac {1,2\,\mathrm {k}\Omega \cdot 2\,\mathrm {k}\Omega }{1,2\,\mathrm {k}\Omega + 2\,\mathrm {k}\Omega } = 750\,\Omega \\[2pt] \tau &= C_1 \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} \\ &= 1\,\mu \mathrm {F} \cdot \frac {750\,\Omega \cdot 500\,\Omega }{750\,\Omega + 500\,\Omega } = 0,3\,\mathrm {ms} \\[2pt] i_3(t=0_{-}) &= \frac {U_q}{R_{2}+R_3} = \frac {250\,\mathrm {V}}{2\,\mathrm {k}\Omega + 500\,\Omega } = 0,1\,\mathrm {A}\\[2pt] i_3(t=0_{+}) &= \frac {U_q}{R_3} = \frac {250\,\mathrm {V}}{500\,\Omega } = 0,5\,\mathrm {A}\\[2pt] i_3(t\to \infty ) &= \frac {U_q}{R_{12}+R_3} = \frac {250\,\mathrm {V}}{750\,\Omega + 500\,\Omega } = 0,2\,\mathrm {A} \end {align*}

Plot: Gezeigt ist der Zeitverlauf i3 während eines
Schaltvorganges. Der Strom ist zunächst konstant
bei 100 mA und springt dann 500 mA. Von dort
fällt er exponentiell auf 200 mA ab mit einer
Zeitkonstante von 300 us.

6 Schaltvorgang bei Wechselspannung

Zum Zeitpunkt $t=t_0$ wird in der gezeigten Schaltung die Wechselspannung $u_1(t)$ an die Gesamtschaltung aus $R_1$ in Reihe zur Parallelschaltung aus $R_2$ und $C$ angelegt. Für $t<t_0$ ist die Schaltung im stationären Zustand. Die Quellenspannung ist gegeben durch $u_1(t) = \hat {U}_1 \cdot \sin (\omega t)$.

Schaltbild: Gezeigt ist eine Schaltung aus R1 in Reihe mit der Parallelschaltung aus R2 und L. Die ganze
Schaltung ist zunächst kurzgeschlossen und schaltet von dort auf den Anschluss einer idealen
Wechselspannungsquelle u1.

a): Welcher Strom $i_{L,e}(t)$ stellt sich im eingeschwungenen Zustand bei der Induktivität ein?
Bestimmen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel des Stromes.
b): Stellen Sie die DGL von $i_L(t)$ für $t \geq t_0$ auf. Welche Zeitkonstante ergibt sich für den flüchtigen Zustand? Hinweis (DGL): $\tau \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L + i_L = \text {störterm}$
c): Wann muss geschalten werden, damit der flüchtige Zustand von $i_L(t)$ minimal wird? Bei welchen möglichen Schaltzeitpunkten wird dieser maximal? Geben Sie die Antwort mithilfe der Phasenverschiebung $\varphi $ zwischen $u_1(t)$ und $i_L(t)$ an.
d): Sei zum Schaltzeitpunkt $t_0$ der eingeschwungene Zustand von $i_{L,e}(t)$ bei seinem negativen Scheitelwert. Die Zeitkonstante $\tau $ beträgt eine Periodendauer $T=\frac {2\pi }{\omega }$. Bestimmen Sie das Strommaximum während des Einschwingvorgangs.

a)

Eingeschwungener Zustand ($t \to \infty $) mit komplexer Wechselstromrechnung: \begin {align*} \underline {I_{L,e}} &= \frac {\underline {U_L}}{\underline {Z}_L} = \frac {\underline {U_1}}{\underline {Z}_L} \cdot \frac {R_2 || \underline {Z}_L}{R_1 + R_2 || \underline {Z}_L} \qquad \text {mit} \underline {U_1} = \hat {U_1} \cdot \mathrm {e}^{\mathrm {j}0} = \hat {U_1}\\ &= \frac {\hat {U_1}}{\underline {Z}_L} \cdot \frac {\frac {R_2\cdot \underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}}{R_2 + \frac {R_1\cdot \underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}} \qquad \bigg | \cdot \frac {R_2+\underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}\\ &= \frac {\hat {U_1}}{\cancel {\underline {Z}_L}} \cdot \frac {R_2\cdot \cancel {\underline {Z}_L}}{R_1\cdot (R_2+\underline {Z}_L)+R_2\cdot \underline {Z}_L}\\ &= \hat {U_1} \cdot \frac {R_2}{R_1 \cdot R_2 + \mathrm {j}\omega L \cdot (R_1+R_2)} \\ \varphi &= 0 + \cancel {\arctan \left (\frac {0}{R_2}\right )} - \arctan \left (\frac {\omega L \cdot (R_1+R_2)}{R_1 \cdot R_2}\right ) \\ &= - \arctan \left (\frac {\omega L \cdot (R_1+R_2)}{R_1 \cdot R_2}\right ),\qquad -\frac {\pi }{2} \leq \varphi \leq 0 \\ \hat {I_{L,e}} &= \hat {U_1} \cdot \frac {R_2}{\sqrt {\left (R_1\cdot R_2\right )^2 + \left (\omega L\cdot (R_1+R_2)\right )^2}}\\ i_{L,e}(t) &= \hat {I_{L,e}} \cdot \sin (\omega t + \varphi ) \qquad \text {Strom eilt nach }u_1\text { mit }\varphi <0 \end {align*}

b)

DGL für $i_L(t)$ ($t \geq t_0$): \begin {align*} u_1 &= u_{R_1} + u_L \\ &= R_1 \cdot (i_2 + i_L) + L \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L\\ &= R_1 \cdot \left ( \frac {u_L}{R_2} + i_L \right ) + L \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L\\ &= \frac {R_1}{R_2} \cdot L \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L + R_1 \cdot i_L + L \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L \\ &= L \cdot \left ( \frac {R_1}{R_2} + 1 \right ) \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L + R_1 \cdot i_L \qquad \bigg | \cdot \frac {1}{R_1}\\ \frac {u_1}{R_1} &= \underbrace {L \cdot \left ( \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2} \right )}_{\ =\tau } \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L + i_L\\ \tau &= L \cdot \left ( \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2} \right ) = \frac {L}{R_1||R_2} \end {align*}

c)

Schaltzeitpunkte für minimalen und maximalen flüchtigen Zustand ($t_{min},\ t_{max}$).
Kein Einschwingen, wenn $i_{L,f}=0 \Leftrightarrow i_L=i_{L,e} \Leftrightarrow i_L(t_0)=i_{L,e}(t_0)$ gilt.

D.h. für verschwindenden flüchtigen Zustand (kein Einschwingvorgang) folgt: \begin {align*} &\text {AB:}&i_L(t_0) = i_{L,e}(t_0) &= \hat {I_{L,e}} \cdot \sin (\omega t_0 + \varphi ) \overset {!}= 0 & &\Rightarrow i_L(t')=i_{L,e}(t') \Leftrightarrow i_{L,f}(t')=0\\ &&\Leftrightarrow \omega t_0 + \varphi &\overset {!}{=} 0 + n\cdot \pi & &\text {mit} n \in \mathbb {N} \\ &&t_{min} &= \frac {n\cdot \pi - \varphi }{\omega } & &\text {entspricht Nulldurchgängen von $i_{L,e}$}\\ \end {align*}

Und für maximalen flüchtigen Zustand (Schaltzeitpunkt $90^\circ $ versetzt) folgt: \begin {align*} &&t_{max} &= \frac {n\cdot \pi - \varphi }{\omega } + \frac {T}{4} & &\text {entspricht Extremstellen von $i_{L,e}$} \end {align*}

d)

Strommaximum während des Einschwingvorgangs gesucht. Schaltzeitpunkt $t_0$ bei negativem Scheitelwert von $i_{L,e}$. Sei $t' = t - t_0$, d.h. $t'=0$ zum Schaltzeitpunkt, so folgt: \begin {align*} i_L(t') &= i_{L,h}(t') + i_{L,e}(t') \\ &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} - \hat {I_{L,e}} \cdot \cos (\omega t')\\ \text {AB:} i_L(t'=0) &= K - \hat {I_{L,e}} \overset {!}{=}0 \Rightarrow K = \hat {I_{L,e}}\\ i_L(t') &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} - \cos (\omega t') \right ) \\ \end {align*}

Maximum bei positivem Scheitelwert ($180^\circ $ nach $t_0$): \begin {align*} i_{L,max} &= i_L(t' = \frac {\pi }{\omega }) \\ &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {T/2}{T}} - \cos (\pi ) \right ) \\ &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {1}{2}} + 1\right ) = 1,606 \cdot \hat {I_{L,e}} \end {align*}

	\(R_1 = 1{,}2\,\text k \Omega \)	\(R_2 = 2\,\text k \Omega \)
	\(C_1 = 1\,\mu \text F\)	\(R_3 = 500\,\Omega \)
	\(U_q = 250\,\text {V}\)

1 Einschaltverhalten eines RC-Übertragungsgliedes

2 Einschaltverhalten (DC) eines verlustbehafteten Kondensators

3 Schaltverhalten einer RL-Serienschaltung

4 Einschaltverhalten einer RL-Serienschaltung

5 ET3 Ü8 Schaltverhalten eines RC-Netzwerks

6 Schaltvorgang bei Wechselspannung

Im Modul 12

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