1 Einschaltverhalten eines RC-Übertragungsgliedes

Gegeben ist das rechts dargestellte Übertragungsglied (Zweitor). Untersucht wird das Einschwingverhalten der Spannung \(u_2\) am Ausgang bei Anschließen einer idealen Gleichspannungsquelle \(U_q\).

• Skizzieren Sie qualitativ die Zeitverläufe der Spannungen \(u_2\), \(u_{R_2}\) und \(u_C\) vom stationären Zustand für \(t<0\) bis die dargestellten Größen eingeschwungen sind (\(t=5\tau \)). Kennzeichnen Sie Zeitkonstanten, Anfangs- und Endwerte der Verläufe.

• DGL für \(u_C(t \geq 0)\): \begin {align*} R_1 \cdot i + R_2 \cdot i + u_C &= U_q \\ \underbrace {(R_1 + R_2) \cdot C}_{\ =\tau } \cdot \mathrm{d}t \, u_C + u_C &= U_q \end {align*}
• Zeitverlauf \(u_C\) für \(t\geq 0\): \begin {align*} u_{C,\mathrm {f}}=u_{C,\mathrm {h}} &= K \cdot e^{-\frac {t}{\tau }} &&\text {mit } \tau = (R_1 + R_2) \cdot C \\ u_{C,\mathrm {e}}=u_{C,\mathrm {p}} &= U_q \\ u_C = u_{C,\mathrm {f}} + u_{C,\mathrm {e}} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {e^{0}} + U_q \overset {!}{=} 0 &&\Longrightarrow K = - U_q \\ u_C(t) &= \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \end {align*}
• Spannung \(u_2(t)\) aus \(u_C(t)\) für \(t \geq 0\): \begin {align*} u_2 &= i \cdot R_2 + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \mathrm{d}t \, u_C + u_C \\ &= C \cdot R_2 \cdot \mathrm{d}t \, \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {C \cdot R_2}{\tau } \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \frac {R_2}{R_1 + R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \cdot U_q + \left (1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 + \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \\ &= \left ( 1 - \frac {R_1}{R_1+R_2} \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \cdot U_q \end {align*}

2 Einschaltverhalten (DC) eines verlustbehafteten Kondensators

Das Einschaltverhalten der dargestellten Schaltung soll untersucht werden.

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) wird der Schalter umgelegt, so dass die Gleichspannung \(U_q\) an der Schaltung anliegt. Die Kapazität ist vor dem Schaltzeitpunkt vollständig entladen.

• Bestimmen Sie die Gleichung für die Spannung an der Kapazität \(u_C(t)\) für \(t \geq 0\).
• Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannungen \(u_C(t)\) und \(u_{R1}(t)\) sowie des Stromes \(i_C(t)\). Kennzeichnen Sie charakteristische Punkte.
• Nach vollständigem Aufladen der Kapazität \(C\) auf \(U_{0}\) wird der Schalter wieder in Ausgangsposition gebracht. Wie lange braucht die Kapazität \(C\), um auf \(10\,\%\) der Spannung \(U_{0}\) zu entladen?
• Die Kapazität wird wie in c) entladen, allerdings mit offenem Schalter (Leerlauf). Wie lange dauert der Entladevorgang (von \(U_0\) bis \(10\,\%\cdot U_0\))? Vergleichen Sie die Dauer mit der aus c).

a) ESB (\(t \geq 0\)): \(U_q\) an Schaltung: \(R_1\) in Serie mit Parallelschaltung aus \(R_2\) und \(C\).

1. DGL aufstellen für \(u_C\) (\(t \geq 0\)) \begin {align*} u_{R1} + u_C &= U_q & u_{R_1} &= R_1 \cdot i_{R1}\\ R_1 \cdot i_{R1} + u_C &= U_q & i_{R1} &= i_{R2} + i_C\\ R_1 \cdot (i_C + i_{R2}) + u_C &= U_q & i_C &= C \cdot \mathrm{d}t \, u_C \qquad i_{R2} = \frac {u_C}{R_2}\\ C \cdot R_1 \cdot \mathrm{d}t \, u_C + \frac {R_1}{R_2} \cdot u_C + u_C &= U_q &&\Big | \cdot R_2\\ C \cdot R_1 \cdot R_2 \cdot \mathrm{d}t \, u_C + \left (R_1 + R_2 \right ) \cdot u_C &= U_q \cdot R_2 &&\Big | : (R_1+R_2)\\ \underbrace {C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}}_{\tau } \cdot \mathrm{d}t \, u_C + u_C &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \end {align*}

2. Homogene Lösung und 3. Partikuläre Lösung (\(t \to \infty \)) \begin {align*} u_{C,h} &= K \cdot \mathrm {e}^{\lambda t} = K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} & \tau &= C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2} \\[2pt] u_{C,p} &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} & &\text {$C$ entspricht Leerlauf} \end {align*}

4. Überlagerung und 5. Konstante \(K\) bestimmen \begin {align*} u_C(t) = u_{C,h} + u_{C,p} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(0) &= K \cdot \cancel {\mathrm {e}^{0}} + U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \overset {!}{=} 0 & \Rightarrow K &= -U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \\ u_C(t) &= U_q \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} \cdot \left ( 1 - \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \right ) \end {align*}

Zeitverläufe:

• Entladen von \(C\) über Parallelschaltung aus \(R_1\) und \(R_2\) für \(t'\geq 0\) bis \(U_0 \cdot 10\,\%\)
  Entlade-Zeitkonstante: \(\tau _1= \tau = C \cdot \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}\): \begin {align*} u_C(t') = U_0 \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &\overset {!}{=} U_0 \cdot 10\,\% \\ \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} &= \frac {1}{10} \\ -\frac {t'}{\tau } &= \ln \left (\frac {1}{10}\right ) = -\ln \left (10\right ) \\ t' &= \ln \left (10\right ) \cdot \tau \approx 2,3025 \cdot \tau \end {align*}
• Entladen von \(C\) über \(R_2\), wenn Schalter öffnet (Leerlauf) für \(t'\geq 0\) bis \(U_0 \cdot 10\,\%\).
  Lösung wie bei Aufgabe c) nur mit Entlade-Zeitkonstante \(\tau _2 = R_2 \cdot C\).
  Die Kapazität entlädt langsamer als in Aufgabe c) (\(\tau _2 > \tau \)), da \(R_2 > R_1||R_2\).

3 Schaltverhalten einer RL-Serienschaltung

Das Schaltverhalten, der in der linken Abbildung dargestellten Schaltung, soll untersucht werden.
Der Verlauf der Spannung \(u_1(t)\) ist in der rechten Abbildung dargestellt.

Vor dem Zeitpunkt \(t=0\) war die Spannung \(u_1 = 0\), so dass zum Zeitpunkt \(t=0\) keine Energie in der Spule gespeichert ist. Weiterhin gilt \(t_1 \gg 5\tau \).

• Es soll der Aufladevorgang (\(0<t<t_1\)) betrachtet werden. Es gilt \(\tau = 1\,ms\) und \(R=100\,\Omega \). Wie groß ist die Induktivität \(L\)?
• Es soll weiterhin der Aufladevorgang (\(0<t<t_1\)) betrachtet werden. Gegeben ist nun die Spannung \(U_0=1\,kV\). Wie groß ist der Strom durch die Spule \(i_L\) zum Zeitpunkt \(t=3\tau \)?

• Es wird weiterhin der Aufladevorgang betrachtet. Nun gilt jedoch: \(R = 5\,\Omega \), \(L=100\,mH\) und \(U_0=2,8\,kV\).

  • Nach welcher Zeit \(t_0\) ist der Einschwingvorgang abgeschlossen?
  • Wie groß sind der Spulenstrom \(i_L\) und die Spulenspannung \(u_L\) nach \(t=50\,ms\)?
• Nun soll der Entladevorgang (\(t>t_1\)) betrachtet werden. Es gelten die Werte aus dem vorangehenden Aufgabenteil. Wie groß sind Spulenstrom \(i_L\) und Spulenspannung \(u_L\) nach \(t=t_1 +50\,ms\)?
• Zeichnen Sie die zeitlichen Verläufe der Spulenspannung \(u_L\), des Stromes \(i_L\), sowie der Spannung \(u_R\). Kennzeichnen Sie die Zeitkonstante \(\tau \), sowie weitere charakteristische Punkte. Nehmen Sie an \(t_1 = 120\,ms\).

\begin {align*} \text {DGL (allgemein):}&& \frac {L}{R}\cdot \mathrm{d}t \, i &= \frac {U_1}{R_1} \text {(Einschalten)}\\ \text {Lösungsansatz:}&& i &= \frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\text {mit}\tau =\frac {L}{R} \end {align*}

a) Induktivität berechnen.

b) Aufladevorgang, Spulenstrom \(i_L\) zum Zeitpunkt \(t=3\tau \).\begin {align*} i(t=3\cdot \tau ) &= \frac {U_0}{R}(1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &=\frac {1\,kV}{100\,\Omega }\cdot (1-e^{-3}) = 10\,A\cdot 0,95\\ &=9,5\,A \end {align*}

c) Zeit bis zum Abschluss des Einschwingvorgangs, Spulen -Strom und -Spannung nach \(50\,ms\).\begin {align*} \tau &=\frac {L}{R}=\frac {0,1\,H}{5\,\Omega }=0,02\,s=20\,ms\\\\ i(t=50\,ms)&=\frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &=\frac {2,8\,kV}{5\,\Omega }\cdot (1-e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}})\\ &=0,56\,kA\cdot (0,918)=0,514\,kA\\\\ u_L&=L\cdot \mathrm{d}t i_L = \frac {L}{R}\cdot U_0 \cdot (-\frac {1}{\tau })\cdot (-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ &= U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\\\ u_L(t=50\,ms)&=2,8\,kV\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=229,8\,V\\ t_0&=5\cdot \tau =5\cdot 20\,ms=100\,ms \end {align*}

d) Entladevorgang, Spulen -Strom und -Spannung nach \(t = t_1 + 50\,ms\).\begin {align*} \text {DGL (Entladevorgang):}&& \frac {L}{R}\cdot \mathrm{d}t \, i+i &=0\\ \text {Lösungsansatz:}&& i &= \frac {U_0}{R}\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\text {mit}\tau =\frac {L}{R}\\ \end {align*}

\begin {align*} u_L&=L\cdot \mathrm{d}t i = \frac {L}{R}\cdot u_0\cdot (-\frac {1}{\tau })\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ &=-U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ i(50\,ms)&=\frac {2,8\,kV}{5\Omega }\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=46\,A\\ u_L(50\,ms)&=-2,8\,kV\cdot e^{-\frac {50\,ms}{20\,ms}}=-230\,V \end {align*}

e) Zeitliche Verläufe von \(u_L, i_L, u_R\).

4 Einschaltverhalten einer RL-Serienschaltung

Das Einschaltverhalten einer Serienschaltung aus ohmschem Widerstand \(R\) und Induktivität
\(L=100\,mH\) soll untersucht werden. Zum Zeitpunkt \(t=0\) wird an die Serienschaltung eine Spannung \(u=U_0 = 35\,V\) angelegt. Für \(t\leq 0\) gilt \(u=0\). Die Spulenspannung zum Zeitpunkt \(t_1=3\,ms\) ist bekannt und beträgt \(u_L(t_1)= 26\,V\).
Bestimmen Sie die Zeitkonstante \(\tau \), den Widerstand \(R\), sowie die Spannung \(u_R(t=5\,ms)\).

\begin {align*} \text {DGL:}&&\frac {L}{R}\cdot \mathrm{d}t i+i&=\frac {U_0}{R}\\ \text {Lösung:}&&i&=\frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\text {mit} \tau = \frac {L}{R} \end {align*}

\begin {align*} u_L &= L\cdot \mathrm{d}t i =U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }}\\ u_R &= u-u_L = U_0\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ i(t=3\,ms)&= \frac {U_0}{R}\cdot (1-e^{-\frac {t}{\tau }})\\ u_L(t=3\,ms)&= U_0\cdot e^{-\frac {t}{\tau }} = 26\,V\\ \frac {u_L(t=3\,ms)}{U_0}&=e^{-\frac {t}{\tau }}\\ -\frac {t}{\tau }&=\ln \left (\frac {u_L(t=3ms)}{U_0}\right )\\ \tau &=-\frac {t}{\ln \left (\frac {u_L(t=3ms)}{U_0}\right )} = -\frac {3ms}{\ln \left (\frac {26\,V}{35\,V}\right )} = 10,1\,ms\\ R &= \frac {L}{\tau } = \frac {100\,mH}{10,1\,ms} = 9,9\,\Omega \\ u_R(t=5\,ms)&=U_0\cdot (1-e^\frac {-5\,ms}{10,1\,ms})\\ &=35\,V\cdot 0,39 = 13,65\,V \end {align*}

5 ET3 Ü8 Schaltverhalten eines RC-Netzwerks

DGL für \(u_C\) aufstellen und darüber mit \(i_3=\frac {u_C}{R_3}\) den Strom \(i_3\) bestimmen.
\(R_1\) und \(R_2\) nach dem Schaltzeitpunkt (\(t>0\)) als Parallelschaltung \(R_{12}\) zusammenfassen.

1. DGL für \(u_C\) (\(t > 0\)) mit \(i_3=\frac {u_C}{R_3}\): \begin {align*} U_q &= u_{12} + u_C &&\text {mit} u_{12} {\text { über Parallelschaltung aus $R_1$ und $R_2$}}\\ &= R_{12} \cdot i_{12} + u_C &&\text {mit} R_{12}=R_1||R_2,& i_{12}&=i_C+i_3\\ &= R_{12} \cdot (i_C + i_3) + u_C &&\text {mit} i_{C}=C\cdot \mathrm{d}t \,u_C,& i_3&=\frac {u_C}{{R_3}}\\ &= R_{12} \cdot (C \cdot \mathrm{d}t \,u_C + \frac {u_C}{{R_3}}) + u_C\\ &= C \cdot R_{12} \cdot \mathrm{d}t \,u_C + \left ( \frac {R_{12}}{{R_3}} + 1 \right ) \cdot u_C& &\bigg |\ \cdot R_3\\ U_q \cdot R_3 &= C \cdot R_{12} \cdot R_3 \cdot \mathrm{d}t \,u_C + \left (R_{12}+R_3\right ) \cdot u_C& &\bigg | :\left (R_{12}+R_3\right )\\ U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3} &= \underbrace {C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3}}_{\tau } \cdot \mathrm{d}t \,u_C + u_C& &\Longrightarrow \tau =C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} \end {align*}

3. Homogene Lösung (flüchtig) und 2. Partikuläre Lösung (\(t \to \infty \), eingeschwungen): \begin {align*} u_{C,\mathrm {h}} &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}& &\text {mit} \tau =C \cdot \frac {R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} \\ u_{C,\mathrm {p}} &= U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3}& &\text {$C_1$ entspricht Leerlauf} \end {align*}

4. Überlagerung und 5. Konstante(n) bestimmen: \begin {align*} u_C &= u_{C,\mathrm {h}} + u_{C,\mathrm {p}}\\ u_C(t=0) &= K \cdot \cancel {\mathrm {e}^{0}} + U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \overset {!}{=} U_q& &\text {(Anfangsbedingung)}\\ \Rightarrow K &= U_q \cdot \left ( 1 - \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \right )\\ &= U_q \cdot \frac {R_{12}}{R_{12}+R_3}\\[2pt] u_C &= U_q \cdot \left ( 1 - \frac {R_3}{R_{12}+R_3} \right ) \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {R_3}{R_{12}+R_3}& &\bigg | :R_3\\[2pt] i_3 &= U_q \cdot \left ( \frac {1}{R_3} - \frac {1}{R_{12}+R_3} \right ) \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} + U_q \cdot \frac {1}{R_{12}+R_3} \end {align*}

Zeitkonstante \(\tau \) sowie Anfangs- und Endwerte des Stromes \(i_3\) für Skizze:

6 Schaltvorgang bei Wechselspannung

Zum Zeitpunkt \(t=t_0\) wird in der gezeigten Schaltung die Wechselspannung \(u_1(t)\) an die Gesamtschaltung aus \(R_1\) in Reihe zur Parallelschaltung aus \(R_2\) und \(C\) angelegt. Für \(t<t_0\) ist die Schaltung im stationären Zustand. Die Quellenspannung ist gegeben durch \(u_1(t) = \hat {U}_1 \cdot \sin (\omega t)\).

• Welcher Strom \(i_{L,e}(t)\) stellt sich im eingeschwungenen Zustand bei der Induktivität ein?
  Bestimmen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel des Stromes.
• Stellen Sie die DGL von \(i_L(t)\) für \(t \geq t_0\) auf. Welche Zeitkonstante ergibt sich für den flüchtigen Zustand? Hinweis (DGL): \(\tau \cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\, i_L + i_L = \text {störterm}\)
• Wann muss geschalten werden, damit der flüchtige Zustand von \(i_L(t)\) minimal wird? Bei welchen möglichen Schaltzeitpunkten wird dieser maximal? Geben Sie die Antwort mithilfe der Phasenverschiebung \(\varphi \) zwischen \(u_1(t)\) und \(i_L(t)\) an.
• Sei zum Schaltzeitpunkt \(t_0\) der eingeschwungene Zustand von \(i_{L,e}(t)\) bei seinem negativen Scheitelwert. Die Zeitkonstante \(\tau \) beträgt eine Periodendauer \(T=\frac {2\pi }{\omega }\). Bestimmen Sie das Strommaximum während des Einschwingvorgangs.

• Eingeschwungener Zustand (\(t \to \infty \)) mit komplexer Wechselstromrechnung: \begin {align*} \underline {I_{L,e}} &= \frac {\underline {U_L}}{\underline {Z}_L} = \frac {\underline {U_1}}{\underline {Z}_L} \cdot \frac {R_2 || \underline {Z}_L}{R_1 + R_2 || \underline {Z}_L} \qquad \text {mit} \underline {U_1} = \hat {U_1} \cdot \mathrm {e}^{\mathrm {j}0} = \hat {U_1}\\ &= \frac {\hat {U_1}}{\underline {Z}_L} \cdot \frac {\frac {R_2\cdot \underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}}{R_2 + \frac {R_1\cdot \underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}} \qquad \bigg | \cdot \frac {R_2+\underline {Z}_L}{R_2+\underline {Z}_L}\\ &= \frac {\hat {U_1}}{\cancel {\underline {Z}_L}} \cdot \frac {R_2\cdot \cancel {\underline {Z}_L}}{R_1\cdot (R_2+\underline {Z}_L)+R_2\cdot \underline {Z}_L}\\ &= \hat {U_1} \cdot \frac {R_2}{R_1 \cdot R_2 + \mathrm {j}\omega L \cdot (R_1+R_2)} \\ \varphi &= 0 + \cancel {\arctan \left (\frac {0}{R_2}\right )} - \arctan \left (\frac {\omega L \cdot (R_1+R_2)}{R_1 \cdot R_2}\right ) \\ &= - \arctan \left (\frac {\omega L \cdot (R_1+R_2)}{R_1 \cdot R_2}\right ),\qquad -\frac {\pi }{2} \leq \varphi \leq 0 \\ \hat {I_{L,e}} &= \hat {U_1} \cdot \frac {R_2}{\sqrt {\left (R_1\cdot R_2\right )^2 + \left (\omega L\cdot (R_1+R_2)\right )^2}}\\ i_{L,e}(t) &= \hat {I_{L,e}} \cdot \sin (\omega t + \varphi ) \qquad \text {Strom eilt nach }u_1\text { mit }\varphi <0 \end {align*}
• DGL für \(i_L(t)\) (\(t \geq t_0\)): \begin {align*} u_1 &= u_{R_1} + u_L \\ &= R_1 \cdot (i_2 + i_L) + L \cdot \mathrm{d}t \, i_L\\ &= R_1 \cdot \left ( \frac {u_L}{R_2} + i_L \right ) + L \cdot \mathrm{d}t \, i_L\\ &= \frac {R_1}{R_2} \cdot L \cdot \mathrm{d}t \, i_L + R_1 \cdot i_L + L \cdot \mathrm{d}t \, i_L \\ &= L \cdot \left ( \frac {R_1}{R_2} + 1 \right ) \cdot \mathrm{d}t \, i_L + R_1 \cdot i_L \qquad \bigg | \cdot \frac {1}{R_1}\\ \frac {u_1}{R_1} &= \underbrace {L \cdot \left ( \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2} \right )}_{\ =\tau } \cdot \mathrm{d}t \, i_L + i_L\\ \tau &= L \cdot \left ( \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2} \right ) = \frac {L}{R_1||R_2} \end {align*}

• Schaltzeitpunkte für minimalen und maximalen flüchtigen Zustand (\(t_{min},\ t_{max}\)).
  Kein Einschwingen, wenn \(i_{L,f}=0 \Leftrightarrow i_L=i_{L,e} \Leftrightarrow i_L(t_0)=i_{L,e}(t_0)\) gilt.
  

  D.h. für verschwindenden flüchtigen Zustand (kein Einschwingvorgang) folgt: \begin {align*} &\text {AB:}&i_L(t_0) = i_{L,e}(t_0) &= \hat {I_{L,e}} \cdot \sin (\omega t_0 + \varphi ) \overset {!}= 0 & &\Rightarrow i_L(t')=i_{L,e}(t') \Leftrightarrow i_{L,f}(t')=0\\ &&\Leftrightarrow \omega t_0 + \varphi &\overset {!}{=} 0 + n\cdot \pi & &\text {mit} n \in \mathbb {N} \\ &&t_{min} &= \frac {n\cdot \pi - \varphi }{\omega } & &\text {entspricht Nulldurchgängen von $i_{L,e}$}\\ \end {align*}

  Und für maximalen flüchtigen Zustand (Schaltzeitpunkt \(90^\circ \) versetzt) folgt: \begin {align*} &&t_{max} &= \frac {n\cdot \pi - \varphi }{\omega } + \frac {T}{4} & &\text {entspricht Extremstellen von $i_{L,e}$} \end {align*}

• Strommaximum während des Einschwingvorgangs gesucht. Schaltzeitpunkt \(t_0\) bei negativem Scheitelwert von \(i_{L,e}\). Sei \(t' = t - t_0\), d.h. \(t'=0\) zum Schaltzeitpunkt, so folgt: \begin {align*} i_L(t') &= i_{L,h}(t') + i_{L,e}(t') \\ &= K \cdot \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} - \hat {I_{L,e}} \cdot \cos (\omega t')\\ \text {AB:} i_L(t'=0) &= K - \hat {I_{L,e}} \overset {!}{=}0 \Rightarrow K = \hat {I_{L,e}}\\ i_L(t') &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {t'}{\tau }} - \cos (\omega t') \right ) \\ \end {align*}

  Maximum bei positivem Scheitelwert (\(180^\circ \) nach \(t_0\)): \begin {align*} i_{L,max} &= i_L(t' = \frac {\pi }{\omega }) \\ &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {T/2}{T}} - \cos (\pi ) \right ) \\ &= \hat {I_{L,e}} \cdot \left ( \mathrm {e}^{-\frac {1}{2}} + 1\right ) = 1,606 \cdot \hat {I_{L,e}} \end {align*}