1 Materialabhängigkeit des Widerstandes R

Ein Draht aus Kupfer hat folgende Eigenschaften:

• Länge: \( \ell = 5\,\mathrm {m} \)
• Querschnittsfläche: \( A = 1\,\mathrm {mm}^2\)
• spezifischer Widerstand von Kupfer: \(\rho = 1,68\cdot 10^{-8}\,\Omega \mathrm {m}\)

Berechne \( R \) des Drahtes.

1.1 Lösung:

\begin {equation*} R = \rho \cdot \frac {\ell }{A} = 1,68 \cdot 10^{-8} \cdot \frac {5}{1 \cdot 10^{-6}} \,\Omega = 0,084\,\Omega \end {equation*}

2 Elektrischer Widerstand

Eine kugelförmige Hohlstruktur besteht aus zwei ideal leitfähigen Schalen – einer inneren mit Radius \( a \) und einer äußeren mit Radius \( b \). Der Zwischenraum ist vollständig mit einem homogenen, leitfähigen Material gefüllt, das die elektrische Leitfähigkeit \( \kappa \) (in \(\frac {\mathrm {S}}{\mathrm {m}}\)) besitzt. Zwischen den leitenden Schalen wird durch eine Spannungsquelle eine Spannung \begin {equation*} U = \varphi _1 - \varphi _2 \end {equation*} angelegt. Der Strom kann sich aufgrund der vollständigen Füllung und der idealen Kontakte ungehindert ausbreiten.

Berechnen Sie den elektrischen Widerstand \( R \) zwischen den beiden kugelförmigen Schalen in Abhängigkeit von \( a \), \( b \) und \( \kappa \).

2.1 Lösung:

Da das System radial-symmetrisch ist, fließt der Strom radial von innen nach außen (oder umgekehrt), und das elektrische Feld hängt nur vom Radius \( r \) ab. Die Stromdichte ergibt sich über das Ohmsche Gesetz in Differentialform: \begin {equation*} \vec {j}(r) = \kappa \cdot \vec {E}(r) \end {equation*}

Die Fläche, durch die der Strom bei Radius \( r \) fließt, ist die Oberfläche einer Kugel: \begin {equation*} A(r) = 4 \pi r^2 \end {equation*}

Der Gesamtstrom ist konstant durch alle Kugelflächen: \begin {equation*} I = j(r) \cdot A(r) = \kappa \cdot E(r) \cdot 4 \pi r^2 \Rightarrow E(r) = \frac {I}{4 \pi \kappa r^2} \end {equation*}

Spannung berechnen:

Die Spannung ergibt sich durch das Integral über das elektrische Feld: \begin {equation*} U = \int _a^b E(r) \, dr = \int _a^b \frac {I}{4 \pi \kappa r^2} \, dr = \frac {I}{4 \pi \kappa } \int _a^b \frac {1}{r^2} \, dr = \frac {I}{4 \pi \kappa } \left [-\frac {1}{r}\right ]_a^b \end {equation*} \begin {equation*} U = \frac {I}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) \end {equation*}

Widerstand berechnen:

Da \( U = R \cdot I \) gilt, folgt \begin {equation*} R = \frac {U}{I} = \frac {1}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) \end {equation*}

Der elektrische Widerstand zwischen den beiden Schalen beträgt somit: \begin {equation*} \boxed { R = \frac {1}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) } \end {equation*}

3 Elektrischer Widerstand eines beschichteten Drahts

Ein runder Aluminiumdraht besitzt einen Radius von \( a = 0,5\,\mathrm {mm}\). Er ist mit einer dünnen Goldschicht von \( b = 0,1\,\mathrm {mm}\) Dicke überzogen. Für die spezifische elektrische Leitfähigkeit und den Temperaturkoeffizienten der beiden Metalle gelten folgende Werte:

• Aluminium: \begin {equation*} \kappa _\text {Alu} = 35\,\frac {\mathrm {m}}{\Omega \mathrm {mm}^2}, \alpha _\text {Alu} = 3,5 \cdot 10^{-3}\,\frac {1}{\mathrm {K}} \end {equation*}
• Gold: \begin {equation*} \kappa _\text {Gold} = 44\,\frac {\mathrm {m}}{\Omega \mathrm {mm}^2}, \alpha _\text {Gold} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}\,\frac {1}{\mathrm {K}} \end {equation*}

Gegeben: Drahtlänge: \( l = 1,5\,\mathrm {m} \) Temperatur: \( T = 25\,^\circ \mathrm {C} \) (Ausgangstemperatur)

• Berechnen Sie den elektrischen Gleichstromwiderstand des Aluminiumkerns und der Goldummantelung bei \( T = 25\,^\circ \mathrm {C} \).
• Wie verändert sich der jeweilige Gleichstromwiderstand, wenn die Temperatur auf \( T = 90\,^\circ \mathrm {C} \) ansteigt?

3.1 Lösung:

\begin {align*} \text {Radius Aluminiumkern:} & a = 0,5\,\mathrm {mm} \\ \text {Dicke der Goldschicht:} & b = 0,1\,\mathrm {mm} \\ \Rightarrow \text {Gesamtradius:} & r = a + b = 0,6\,\mathrm {mm} \\ \text {Länge des Leiters:} & l = 1,5\mathrm {m} = 1500\,\mathrm {mm} \\ \text {Aluminium:} \kappa _\text {Alu} = 35\,\frac {\mathrm {m}}{\Omega \mathrm {mm}^2}, & \alpha _\text {Alu} = 3,5 \cdot 10^{-3}\, \frac {1}{\mathrm {K}} \\ \text {Gold:} \kappa _\text {Gold} = 44\,\frac {\mathrm {m}}{\Omega \mathrm {mm}^2}, & \alpha _\text {Gold} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}\, \frac {1}{\mathrm {K}} \\ \text {Temperaturänderung:} &\\ &T_1 = 25\,^\circ \mathrm {C} = 298\,\mathrm {K} \\ &T_2 = 90\,^\circ \mathrm {C} = 363\,\mathrm {K} \\ &\Delta T = T_2 - T_1 = 65\,\mathrm {K} \end {align*}

Querschnittsflächen berechnen

\begin {align*} &\text {Aluminiumkern:} A_\text {Alu} = \pi a^2 = \pi \cdot 0,5^2 = \pi \cdot 0,25 = 0,7854\,\mathrm {mm}^2 \\ &\text {Goldmantel (Ringfläche zwischen } r = 0,6\,\mathrm {mm} \text { und } a = 0,5\,\mathrm {mm):} \\ &A_\text {Gold} = \pi (r^2 - a^2) = \pi ((0,6\,\mathrm {mm})^2 - (0,5\,\mathrm {mm})^2) = \pi (0,36\,\mathrm {mm}^2 - 0,25\,\mathrm {mm}^2) = \pi \cdot 0,11\,\mathrm {mm}^2 \approx 0,3456\,\mathrm {mm}^2 \end {align*}

Widerstände bei \(25\,^\circ \mathrm {C}\)

Formel: \begin {equation*} R = \frac {l}{\kappa \cdot A} \end {equation*}

\begin {align*} R_\text {Alu} &= \frac {1500}{35 \cdot 0,7854} \,\Omega = \frac {1500}{27,489} \,\Omega \approx 54,58\,\mathrm {m}\Omega \\ R_\text {Gold} &= \frac {1500}{44 \cdot 0,3456} \,\Omega = \frac {1500}{15,206} \,\Omega \approx 98,61\,\mathrm {m}\Omega \end {align*}

Widerstände bei \(90\,^\circ \mathrm {C}\)

Temperaturabhängiger Widerstand: \begin {equation*} R(T) = R_0 \cdot \left ( 1 + \alpha \cdot \Delta T \right ) \end {equation*}

\begin {align*} R_{\text {Alu},90^\circ \mathrm {C}} &= 54,58 \cdot (1 + 3,5 \cdot 10^{-3} \cdot 65) \,\Omega = 54,58 \cdot 1,2275 \,\Omega \approx 66,97\,\mathrm {m}\Omega \\ R_{\text {Gold},90^\circ \mathrm {C}} &= 98,61 \cdot (1 + 3,6 \cdot 10^{-3} \cdot 65)\,\Omega = 98,61 \cdot 1,234 \,\Omega \approx 121,64\,\mathrm {m}\Omega \end {align*}

4 Reale Stromquellen

Eine reale Stromquelle hat eine Leerlaufspannung \( U_0 = 9\,\mathrm {V} \) und einen Innenwiderstand \( R_\text {i} = 1\,\Omega \).

a) wie groß ist die Klemmenspanung, wenn ein Lastwiderstand von \( R_l = 4\,\Omega \) angeschlossen wird ? b) wie groß ist der Strom durch die Last?

4.1 Lösung:

a) Klemmenspannung \( U_\text {k} \): Die Klemmenspannung berechnet sich mit dem Spannungsteiler: \begin {equation*} U_\text {k} = U_0 \cdot \frac {R_\text {l}}{R_\text {i} + R_\text {l}} = 9\,\mathrm {V} \cdot \frac {4\,\Omega }{1\,\Omega + 4\,\Omega } = 9 \cdot \frac {4}{5} = 7,2\,\mathrm {V} \end {equation*}

b) Strom durch die Last \( I \):

\begin {equation*} I = \frac {U_0}{R_\text {i} + R_\text {l}} = \frac {9\,\mathrm {V}}{1\,\Omega + 4\,\Omega } = \frac {9\,\mathrm {V}}{5\,\Omega } = 1,8\,\mathrm {A} \end {equation*}

5 Spannungsquelle

Gegeben ist ein Netzwerk aus einer Spannungsquelle mit \( U = 10\,\mathrm {V} \), einem Reihenwiderstand \( R_1 = 2\,\Omega \) und einem parallelen Widerstand \( R_2 = 4\,\Omega \).

Berechne Ströme und Spannungen im Netzwerk.

5.1 Lösung:

\begin {equation*} R_\text {ges} = R_1 + R_2 = 2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega , I = \frac {U}{R_\text {ges}} = \frac {10\,\mathrm {V}}{6\,\Omega } = 1,67\,\mathrm {A} \end {equation*}

\begin {equation*} U_{R_1} = I \cdot R_1 = 1,67\,\mathrm {A} \cdot 2\,\Omega = 3,33\,\mathrm {V}, U_{R_2} = U - U_{R_1} = 10\,\mathrm {V} - 3,33\,\mathrm {V} = 6,67\,\mathrm {V} \end {equation*}

\begin {equation*} I_{R_2} = \frac {U_{R_2}}{R_2} = \frac {6,67\,\mathrm {V}}{4\,\Omega } = 1,67\,\mathrm {A} \end {equation*}

6 Kapazität und Kondensator

Teil 1: Einzelner Kondensator Gegeben: \begin {equation*} C = 10\,\mathrm {pF}, U = 5\,\mathrm {V} \end {equation*}

• Berechne die Ladung \( Q \)
• Berechne die im Kondensator gespeicherte Energie

Teil 2: Zwei Kondensatoren in Reihe

Zwei Kondensatoren \( C_1 \) und \( C_2 \) sind in Reihe geschaltet.

\begin {equation*} C_1 = 4\,\mathrm {\mu F}, C_2 = 6\,\mathrm {\mu F}, U_\text {ges} = 12\,\mathrm {V} \end {equation*}

• Berechne die Gesamtkapazität \( C_\text {ges} \)
• Wie groß ist die Spannung über \( C_1 \)?

6.1 Lösung:

a)

Ladung: \begin {equation*} Q = C \cdot U = 10 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \,\mathrm {C}= 50\,\mathrm {pC} \end {equation*}

b)

Gespeicherte Energie: \begin {equation*} E = \frac {1}{2} C U^2 = \frac {1}{2} \cdot 10 \cdot 10^{-12} \cdot 25\,\mathrm {J} = 125\,\mathrm {pJ} \end {equation*}

c)

Gesamtkapazität der Reihenschaltung: \begin {equation*} \frac {1}{C_\text {ges}} = \frac {1}{C_1} + \frac {1}{C_2} = \frac {1}{4\,\mathrm {\mu F}} + \frac {1}{6\,\mathrm {\mu F}} = \frac {5}{12\,\mathrm {\mu F}} \Rightarrow C_\text {ges} = 2,4\,\mathrm {\mu F} \end {equation*}

d)

Spannung über \( C_1 \):

\begin {equation*} Q = C_\text {ges} \cdot U_\text {ges} = 2,4 \cdot 10^{-6} \cdot 12 \,\mathrm {C}= 28,8\,\mathrm {\mu C} \end {equation*} \begin {equation*} U_1 = \frac {Q}{C_1} = \frac {28,8 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{-6}} \,\mathrm {V}= 7,2\,\mathrm {V} \end {equation*}

7 Induktivität und Spule

Teil 1: Energie in der Spule Gegeben ist eine Spule mit der Induktivität \begin {equation*} L = 2\,\mathrm {H} \end {equation*} und einem Strom \begin {equation*} I = 3\,\mathrm {A}. \end {equation*}

• Berechne die im Magnetfeld der Spule gespeicherte Energie.
• Wie ändert sich die Energie, wenn der Strom auf \( I = 0,5\,\mathrm {A} \) reduziert wird?

Teil 2: Induktivität einer zylindrischen Spule

Eine zylindrische Spule hat \begin {equation*} N = 500, l = 20\,\mathrm {cm}, A = 5\,\mathrm {cm}^2 \end {equation*} Das Innere der Spule ist luftgefüllt.

Berechne die Induktivität \( L \) der Spule.

7.1 Lösung:

a)

Energie bei \( I = 3\,\mathrm {A} \): \begin {equation*} E = \frac {1}{2} L I^2 = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 \,\mathrm {J}= 9\,\mathrm {J} \end {equation*}

b)

Energie bei \( I = 0,5\,\mathrm {A} \):

\begin {equation*} E = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot 0,5^2\,\mathrm {J} = 0,25\,\mathrm {J} \end {equation*}

c)

Berechnung der Induktivität \( L \) der zylindrischen Spule:

Zunächst die Umrechnung der Einheiten: \begin {equation*} \ell = 20\,\mathrm {cm} = 0,2\,\mathrm {m}, A = 5\,\mathrm {cm}^2 = 5 \cdot 10^{-4}\,\mathrm {m}^2 \end {equation*}

Die Induktivität einer luftgefüllten zylindrischen Spule berechnet sich durch: \begin {equation*} L = \mu _0 \frac {N^2 A}{\ell } \end {equation*} mit der magnetischen Feldkonstanten \begin {equation*} \mu _0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac {\mathrm {H}}{\mathrm {m}} \end {equation*}

Einsetzen: \begin {equation*} L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {500^2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}{0,2} \,\mathrm {H}= 7,85 \cdot 10^{-2} \,\mathrm {H} = 78,5\,\mathrm {mH} \end {equation*}

8 Induktivität, Magnetische Flussdichte und Magnetfeldenergie

Ein luftgefüllter, langer zylindrischer Spulenleiter besitzt folgende Eigenschaften:

• Anzahl der Windungen: \( N = 500 \)
• Länge der Spule: \( l = 0,5\,\mathrm {m} \)
• Querschnittsfläche: \( A = 4 \cdot 10^{-4}\,\mathrm {m}^2 \)
• Stromstärke: \( I = 2,5\,\mathrm {A} \)

Gegeben: Magnetische Feldkonstante: \( \mu _0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac {\mathrm {H}}{\mathrm {m}} \)

• Berechnen Sie die magnetische Flussdichte \( \vec {B} \) im inneren der Spule.
• Bestimmen Sie die Induktivität \( L \) der Spule.
• Berechnen Sie die im Magnetfeld gespeicherte Energie \( E_m \).

8.1 Lösung:

a) Magnetische Flussdichte \( \vec {B} \):

Für eine lange, luftgefüllte Zylinderspule gilt: \begin {equation*} B = \mu _0 \cdot \frac {N}{l} \cdot I \end {equation*}

Einsetzen der Werte: \begin {equation*} B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {500}{0,5} \cdot 2,5 \,\mathrm {T}= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000 \cdot 2,5\,\mathrm {T} \end {equation*} \begin {equation*} B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2500 \,\mathrm {T}= \pi \cdot 10^{-3}\,\mathrm {T} \end {equation*} \begin {equation*} \Rightarrow B \approx 3,14 \cdot 10^{-3}\,\mathrm {T} = 3,14\,\mathrm {mT} \end {equation*}

b) Induktivität \( L \):

Die Induktivität einer langen luftgefüllten Spule ergibt sich aus: \begin {equation*} L = \mu _0 \cdot \frac {N^2 \cdot A}{l} \end {equation*}

Einsetzen der Werte: \begin {equation*} L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {500^2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0,5} \,\mathrm {H} \end {equation*} \begin {equation*} L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {250000 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0,5}\,\mathrm {H} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {100}{0,5}\,\mathrm {H} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 200 \,\mathrm {H} \end {equation*} \begin {equation*} L = 8\pi \cdot 10^{-5} \,\mathrm {H} \Rightarrow L \approx 2,51\cdot 10^{-4}\,\mathrm {H} = 251\,\mathrm {\mu H} \end {equation*}

c) Gespeicherte Energie im Magnetfeld \( E_m \):

Die Energie im Magnetfeld einer Spule berechnet sich mit: \begin {equation*} E_m = \frac {1}{2} L I^2 \end {equation*}

Einsetzen: \begin {equation*} E_m = \frac {1}{2} \cdot 2,51 \cdot 10^{-4} \cdot (2,5)^2\,\mathrm {J} = 0,5 \cdot 2,51 \cdot 10^{-4} \cdot 6,25\,\mathrm {J} \end {equation*} \begin {equation*} E_m = 7,84 \cdot 10^{-4}\,\mathrm {J} = 0,784\,\mathrm {mJ} \end {equation*}