1 Materialhabhängigkeit des Widerstandes R

\[ R = \rho \cdot \frac {l}{A} = 1{,}68 \cdot 10^{-8} \cdot \frac {5}{1 \cdot 10^{-6}} = \SI {0.084}{\ohm } \]

2 Elektrischer Widerstand

Da das System radial-symmetrisch ist, fließt der Strom radial von innen nach außen (oder umgekehrt), und das elektrische Feld hängt nur vom Radius \( r \) ab.

Die Stromdichte ergibt sich über das Ohm’sche Gesetz in Differentialform: \[ \vec {j}(r) = \kappa \cdot \vec {E}(r) \]

Die Fläche, durch die der Strom bei Radius \( r \) fließt, ist die Oberfläche einer Kugel: \[ A(r) = 4 \pi r^2 \]

Der Gesamtstrom ist konstant durch alle Kugelflächen: \[ I = j(r) \cdot A(r) = \kappa \cdot E(r) \cdot 4 \pi r^2 \quad \Rightarrow \quad E(r) = \frac {I}{4 \pi \kappa r^2} \]

Spannung berechnen:

Die Spannung ergibt sich durch das Integral über das elektrische Feld: \[ U = \int _a^b E(r) \, dr = \int _a^b \frac {I}{4 \pi \kappa r^2} \, dr = \frac {I}{4 \pi \kappa } \int _a^b \frac {1}{r^2} \, dr = \frac {I}{4 \pi \kappa } \left [-\frac {1}{r}\right ]_a^b \] \[ U = \frac {I}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) \]

Widerstand berechnen:

Da \( U = R \cdot I \) gilt, folgt \[ R = \frac {U}{I} = \frac {1}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) \]

Der elektrische Widerstand zwischen den beiden Schalen beträgt somit: \[ \boxed { R = \frac {1}{4 \pi \kappa } \left (\frac {1}{a} - \frac {1}{b}\right ) } \]

3 Elektrischer Widerstand eines beschichteten Drahts

\begin {align*} &\text {Radius Aluminiumkern:} \quad a = \SI {0.5}{\milli \meter } \\ &\text {Dicke der Goldschicht:} \quad b = \SI {0.1}{\milli \meter } \\ &\Rightarrow \text {Gesamtradius:} \quad r = a + b = \SI {0.6}{\milli \meter } \\ &\text {Länge des Leiters:} \quad l = \SI {1.5}{\meter } = \SI {1500}{\milli \meter } \\ &\text {Aluminium:} \quad \kappa _\text {Alu} = \SI {35}{\meter /(\ohm \milli \meter ^2)}, \quad \alpha _\text {Alu} = 3{,}5 \times 10^{-3}\, \si {\per \kelvin } \\ &\text {Gold:} \quad \kappa _\text {Gold} = \SI {44}{\meter /(\ohm \milli \meter ^2)}, \quad \alpha _\text {Gold} = 3{,}6 \times 10^{-3}\, \si {\per \kelvin } \\ &\text {Temperaturänderung:} \\ &T_1 = \SI {25}{\celsius } = \SI {298}{\kelvin } \\ &T_2 = \SI {90}{\celsius } = \SI {363}{\kelvin } \\ &\Delta T = T_2 - T_1 = \SI {65}{\kelvin } \end {align*}

Querschnittsflächen berechnen

\begin {align*} &\text {Aluminiumkern:} \quad A_\text {Alu} = \pi a^2 = \pi \times (0.5)^2 = \pi \times 0.25 = 0.7854\, \si {\milli \meter ^2} \\ &\text {Goldmantel (Ringfläche zwischen } r = 0.6 \text { mm und } a = 0.5 \text { mm):} \\ &A_\text {Gold} = \pi (r^2 - a^2) = \pi (0.6^2 - 0.5^2) = \pi (0.36 - 0.25) = \pi \times 0.11 \approx 0.3456\, \si {\milli \meter ^2} \end {align*}

Widerstände bei \(\SI {25}{\celsius }\)

Formel: \[ R = \frac {l}{\kappa \cdot A} \]

\begin {align*} &R_\text {Alu} = \frac {1500}{35 \times 0.7854} = \frac {1500}{27.489} \approx \SI {54.58}{\milli \ohm } \\ &R_\text {Gold} = \frac {1500}{44 \times 0.3456} = \frac {1500}{15.206} \approx \SI {98.61}{\milli \ohm } \end {align*}

Widerstände bei \(\SI {90}{\celsius }\)

Temperaturabhängiger Widerstand: \[ R(T) = R_0 \cdot \left ( 1 + \alpha \cdot \Delta T \right ) \]

\begin {align*} &R_{\text {Alu},90^\circ C} = 54.58 \times (1 + 3.5 \times 10^{-3} \times 65) = 54.58 \times 1.2275 \approx \SI {66.97}{\milli \ohm } \\ &R_{\text {Gold},90^\circ C} = 98.61 \times (1 + 3.6 \times 10^{-3} \times 65) = 98.61 \times 1.234 \approx \SI {121.64}{\milli \ohm } \end {align*}

4 Reale Stromquellen

a) Klemmenspannung \( U_\text {k} \):

Die Klemmenspannung berechnet sich mit dem Spannungsteiler:

\[ U_\text {k} = U_0 \cdot \frac {R_\text {l}}{R_\text {i} + R_\text {l}} = 9\,\si {\volt } \cdot \frac {4\,\si {\ohm }}{1\,\si {\ohm } + 4\,\si {\ohm }} = 9 \cdot \frac {4}{5} = \SI {7.2}{\volt } \]

b) Strom durch die Last \( I \):

\[ I = \frac {U_0}{R_\text {i} + R_\text {l}} = \frac {9}{1 + 4} = \frac {9}{5} = \SI {1.8}{\ampere } \]

5 Spannungsquelle

\[ R_\text {ges} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = \SI {6}{\ohm }, \quad I = \frac {U}{R_\text {ges}} = \frac {10}{6} = \SI {1.67}{\ampere } \]

\[ U_{R_1} = I \cdot R_1 = 1.67 \cdot 2 = \SI {3.33}{\volt }, \quad U_{R_2} = U - U_{R_1} = \SI {6.67}{\volt } \]

\[ I_{R_2} = \frac {U_{R_2}}{R_2} = \frac {6.67}{4} = \SI {1.67}{\ampere } \]

6 Kapazität und Kondensator

a)

Ladung:

\[ Q = C \cdot U = 10 \cdot 10^{-12} \cdot 5 = \SI {50}{\pico \coulomb } \]

b)

Gespeicherte Energie:

\[ E = \frac {1}{2} C U^2 = \frac {1}{2} \cdot 10 \cdot 10^{-12} \cdot 25 = \SI {125}{\pico \joule } \]

c)

Gesamtkapazität der Reihenschaltung:

\[ \frac {1}{C_\text {ges}} = \frac {1}{C_1} + \frac {1}{C_2} = \frac {1}{4} + \frac {1}{6} = \frac {5}{12} \Rightarrow C_\text {ges} = \SI {2.4}{\micro \farad } \]

d)

Spannung über \( C_1 \):

\[ Q = C_\text {ges} \cdot U_\text {ges} = 2.4 \cdot 10^{-6} \cdot 12 = \SI {28.8}{\micro \coulomb } \] \[ U_1 = \frac {Q}{C_1} = \frac {28.8 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{-6}} = \SI {7.2}{\volt } \]

7 Induktivität und Spüle

a)

Energie bei \( I = \SI {3}{\ampere } \):

\[ E = \frac {1}{2} L I^2 = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 = \SI {9}{\joule } \]

b)

Energie bei \( I = \SI {0.5}{\ampere } \):

\[ E = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot 0.5^2 = \SI {0.25}{\joule } \]

c)

Berechnung der Induktivität \( L \) der zylindrischen Spule:

Zunächst die Umrechnung der Einheiten: \[ l = \SI {20}{\centi \meter } = \SI {0.2}{\meter }, \quad A = \SI {5}{\centi \meter \squared } = 5 \times 10^{-4} \, \si {\meter \squared } \]

Die Induktivität einer luftgefüllten zylindrischen Spule berechnet sich durch: \[ L = \mu _0 \frac {N^2 A}{l} \] mit der magnetischen Feldkonstanten \[ \mu _0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \si {\henry \per \meter } \]

Einsetzen: \[ L = 4\pi \times 10^{-7} \cdot \frac {500^2 \cdot 5 \times 10^{-4}}{0.2} = 7.85 \times 10^{-2} \, \si {\henry } = \SI {78.5}{\milli \henry } \]

8 Induktivität, Magnetische Flussdichte und Magnetfeldenergie

a) Magnetische Flussdichte \( \vec {B} \):

Für eine lange, luftgefüllte Zylinderspule gilt: \[ B = \mu _0 \cdot \frac {N}{l} \cdot I \]

Einsetzen der Werte: \[ B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {500}{0.5} \cdot 2.5 = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000 \cdot 2.5 \] \[ B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2500 = \pi \cdot 10^{-3} \, \si {\tesla } \] \[ \Rightarrow B \approx 3.14 \cdot 10^{-3} \, \si {\tesla } = \SI {3.14}{\milli \tesla } \]

b) Induktivität \( L \):

Die Induktivität einer langen luftgefüllten Spule ergibt sich aus: \[ L = \mu _0 \cdot \frac {N^2 \cdot A}{l} \]

Einsetzen der Werte: \[ L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {500^2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0.5} \] \[ L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {250000 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0.5} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac {100}{0.5} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 200 \] \[ L = 8\pi \cdot 10^{-5} \, \si {\henry } \Rightarrow L \approx \SI {2.51e-4}{\henry } = \SI {251}{\micro \henry } \]

c) Gespeicherte Energie im Magnetfeld \( E_m \):

Die Energie im Magnetfeld einer Spule berechnet sich mit: \[ E_m = \frac {1}{2} L I^2 \]

Einsetzen: \[ E_m = \frac {1}{2} \cdot 2.51 \cdot 10^{-4} \cdot (2.5)^2 = 0.5 \cdot 2.51 \cdot 10^{-4} \cdot 6.25 \] \[ E_m = 7.84 \cdot 10^{-4} \, \si {\joule } = \SI {0.784}{\milli \joule } \]