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Lernziele: Maschenstromverfahren

Die Studierenden

  • kennen die Schritte des Maschenstromverfahrens.
  • können mit Hilfe des Maschenstromverfahrens elektrische Netzwerke analysieren.

Maschenstromverfahren

Neben der Knotenpotentialanalyse zur Untersuchung von elektrischen Netzwerken kann auch das Maschenstromverfahren zur Berechnung herangezogen werden. Beim Maschenstromverfahren wird ein Gleichungssystem aufgestellt, mit welchem die Maschenströme ermittelt werden können. Um das Gleichungssystem des Maschenstromverfahrens aufstellen zu können, müssen einige Vorbereitungen getroffen werden. In den folgenden Schritten soll das elektrische Netzwerk aus der Abbildung 1 mittels des Maschenstromverfahrens berechnet werden.

Die Schaltung hat eine obere und eine untere Sammelschiene, zwischen denen drei Zweige liegen. Links befindet sich eine Spannungsquelle U_0 mit dem Serienwiderstand R_0; über R_0 ist die Spannung U_R0 und der Strom I_0 nach unten eingezeichnet. In der Mitte verbindet der Widerstand R_1 mit Spannung U_R1 und Strom I_1 nach unten die beiden Schienen, rechts liegt ein Zweig: ein Widerstand R_2 mit Spannung U_R2 und Strom I_2 nach oben parallel zu einer Stromquelle mit Strom I_q nach unten.

Abbildung 1: Netzwerk für das Maschenstromverfahren. Elektrisches Netzwerk mit einer Spannungsquelle, einer Stromquelle und drei Widerständen. Anhand des Netzwerkes wird das Maschenstromverfahren erläutert.

1 Vorbereitung des Netzwerkes

Das Maschenstromverfahren arbeitet mit Spannungsquellen und Widerstandswerten. Hierfür müssen eventuelle Stromquellen in Spannungsquellen transformiert werden. Diese Art der Umwandlung einer Stromquelle in eine Spannungsquelle wird noch einmal in der Abbildung 2 dargestellt. Hier wird aus der Stromquelle und dem parallel liegenden Innenwiderstand eine Spannungsquelle mit einem in reihe liegenden Innenwiderstand.

Die Grafik zeigt links ein Zweipolnetzwerk: eine Stromquelle mit Strom I_q nach oben liegt parallel zu einem Widerstand R_i zwischen zwei Anschlussklemmen. Ein Pfeil zeigt auf die äquivalente Darstellung rechts: dort befindet sich eine Spannungsquelle U_q nach unten in Serie mit demselben Widerstand R_i im oberen Zweig. Beide Darstellungen beschreiben dasselbe äußere Verhalten des Zweipols.

Abbildung 2: Umwandlung einer Stromquelle. Umwandlung einer Stromquelle mit Parallelwiderstand zur Spannungsquelle mit Serienwiderstand.

Die Gleichung 1 zeigt die Berechnung des Spannungswertes der Spannungsquelle aus dem angegebenen Stromwert der Stromquelle und dem Widerstandswert des Innenwiderstands.

\begin {equation} U_\mathrm {q} = R_\mathrm {i} \cdot I_\mathrm {q} \label {GleichungUmrechnungStromquelle} \end {equation}

Außerdem müssen mögliche Leitwerte von elektrischen Widerständen in Widerstandswerte geändert werden. In der Gleichung 2 wird gezeigt, wie der Widerstandswert aus dem Kehrwert des Leitwerts ermittelt wird.

\begin {equation} R_\mathrm {i} = \frac {1}{G_\mathrm {i}} \label {GleichungUmrechnungLeitwert} \end {equation}

In der Abbildung 3 wird die Umwandlung der Stromquelle des vorgestellten Netzwerkes in eine Spannungsquelle durchgeführt. Aus der Parallelschaltung der Stromquelle und des Widerstandes \(R_2\) wird eine Reihenschaltung bestehend aus der neuen Spannungsquelle und dem Widerstand \(R_2\).

PIC

Abbildung 3: Umwandlung einer Stromquelle in einem elektrischen Netzwerk. Umwandlung der Stromquelle mit Parallelwiderstand des zu berechnenden Netzwerkes in eine Spannungsquelle mit Reihenwiderstand. Die Transformation der Quelle findet im roten Kreis statt.

Merke: Maschenstromverfahren

Für das Maschenstromverfahren werden zur Analyse eines elektrischen Netzwerkes Spannungsquellen und Widerstandswerte benötigt.

2 Maschen definieren

Für die Maschenstromanalyse müssen die Maschen festgelegt werden. Über den Maschen werden die Maschenströme festgelegt. Außerdem werden den Maschen die Widerstände zugeordnet. In der Abbildung 4 wird das vorgestellte Netzwerk mit den eingezeichneten Maschen \(M_1\) und \(M_2\) dargestellt.

Die Schaltung besteht aus einem rechteckigen Rahmen mit drei senkrechten Zweigen zwischen einer oberen und unteren Sammelschiene. Links liegt eine Spannungsquelle U_0 in Serie mit dem Widerstand R_0; rechts unten eine Spannungsquelle U_1, über ihr im selben Zweig der Widerstand R_2 mit Spannungsabfall U_R2. In der Mitte verbindet der Widerstand R_1(Spannung U_R1, Strom I_1 nach unten) die beiden Sammelschienen. Die beiden rechteckigen Teilbereiche links und rechts des Mittelschenkels bilden die Maschen M_1 und M_2, in denen die Ströme I_0(links) und I_2(rechts) festgelegt sind.

Abbildung 4: Maschen im elektrischen Netzwerk. Festlegung der Maschen \(M_1\) und \(M_2\) sowie der zugehörigen Maschenströme.

Durch alle Komponenten welche sich an der Masche \(M_1\) befinden, fließt der Maschenstrom \(I_\mathrm {M1}\). So wie auch alle Komponenten an der Masche \(M_2\) von dem Maschenstrom \(I_\mathrm {M2}\) durchflossen werden. Die beiden Maschenströme \(I_\mathrm {M1}\) und \(I_\mathrm {M2}\) werden vektoriell in der Gleichung 3 notiert.

\begin {equation} I_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} I_\mathrm {M1} \\ \\ I_\mathrm {M2} \\ \end {bmatrix} \label {GleichungMaschenströme} \end {equation}

3 Widerstandsmatrix bestimmen

In der Masche \(M_1\) trifft der Maschenstrom \(I_{M1}\) auf die beiden Widerstände \(R_0\) und \(R_1\). Die Masche \(M_1\) wird in der Abbildung 5 in blau dargestellt. Der Maschenstrom \(I_{M2}\) der Masche \(M_2\) durchfließt die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\). Der Widerstand \(R_1\) ist somit teil der beiden Maschen \(M_1\) und \(M_2\) und wird von beiden Maschenströmen durchflossen. Wird ein Widerstand von mehreren Maschenströmen durchflossen gilt dieser als Kopplungswiderstand zwischen den Maschen.

In der Widerstandsmatrix nach Gleichung 4 werden die Widerstände der Maschen und die Kopplungswiderstände zugeordnet. Hier werden die Umlaufwiderstände aus den Maschen in die Hauptdiagonale eingetragen. Das heißt, dass die Reihenschaltung \(R_0 + R_1\) das Element der ersten Spalte und Zeile für die erste Masche wird. Die Reihenschaltung \(R_1 + R_2\) wird in das Element der zweiten Spalte und Zeile für die zweite Masche eingetragen. In die übrigen Elemente der Widerstandsmatrix werden die Kopplungswiderstände zwischen den jeweiligen Maschen eingetragen. Der Kopplungswiderstand bekommt ein positives Vorzeichen, wenn beide Maschenströme in die selbe Richtung fließen und ein negatives, wenn diese entgegengesetzt fließen. Die Widerstandsmatrix wird in der Wechselstromtechnik auch als Maschenimpedanzmatrix bezeichnet.

Die Schaltung ist dieselbe wie zuvor: ein Rechteck mit drei senkrechten Zweigen R_0 links, R_1 in der Mitte und R_2 rechts, links unten eine Spannungsquelle U_0, rechts unten U_1. Neu ist die farbliche Markierung: Der komplette linke Maschenweg über U_0, R_0, die obere und die untere Sammelschiene ist in Blau hervorgehoben. Der mittlere Zweig mit dem Widerstand R_1 ist zusätzlich als gestrichelte, grüne Linie betont, um den Spannungsabfall U_R1 bzw. den Bezug zwischen oberem und unterem Knoten in dieser Masche hervorzuheben.

Abbildung 5: Festlegung der Zweige. Elektrisches Netzwerk mit hervorgehobenen Zweigen zur Erstellung der Widerstandsmatrix für das Maschenstromverfahren

\begin {equation} R_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} \color {blue}{R_0 + R_1} & \color {green}{-R_1} \\ \\ \color {green}{-R_1} & R_1 + R_2 \\ \end {bmatrix} \label {GleichungWiderstandsmatrix} \end {equation}

4 Quellenspannungen zuordnen

Den Maschen müssen die Spannungsquellen, die sogennanten Quellspannungen zugeordnet werden. In der Masche \(M_1\) liegt die Quellenspannung \(U_0\). Die Masche \(M_2\) weist die Quellenspannung \(U_1\) auf. Bei übereinstimmender Richtung von Spannungspfeil und Maschenrichtung ergibt sich ein negatives Vorzeichen für die Quellspannungen. Sind die Richtungen von Spannungspfeil und dem Maschenumlauf entgegengesetzt wird das Vorzeichen der Quellspannung positiv. Für den Fall, dass in einer Masche keine Quelle vohanden ist, wird eine \(0\) eingetragen.

\begin {equation} U_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} U_0 \\ \\ -U_1 \\ \end {bmatrix} \label {GleichungQuellspannungen} \end {equation}

5 Gleichungssystem aufstellen

Nach dem ohmschen Gesetz wird die elektrische Spannung als Produkt aus dem elektrischen Widerstand und Strom berechnet. Bei der Maschenstromanalyse werden zur Berechnung des Vektors der Maschenströme \(I_\mathrm {M}\) die Widerstandsmatrix \(R_\mathrm {M}\) und der Vektor der Quellspannungen \(U_\mathrm {M}\) verwendet. Das Gleichungssystem wird in der Gleichung 6 abgebildet.

\begin {equation} \begin {bmatrix} R_0 + R_1 & -R_1 \\ \\ -R_1 & R_1 + R_2 \\ \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} I_\mathrm {M1} \\ \\ I_\mathrm {M2} \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} U_0 \\ \\ -U_1 \\ \end {bmatrix} \label {GleichungMasche1} \end {equation}

Die gesuchte Größen werden aus den Maschenströmen berechnet. Beispielsweise werden die Ströme \(I_0\), \(I_1\) und \(I_2\) gesucht. Die Ergebnisse der Maschenströme sind mit den Strömen gleichzusetzen, welche lediglich von einem Maschenstrom durchflossen werden. In dem vorgestellten elektrischen Netzwerk beträgt der Strom der Masche \(M_1: I_\mathrm {M1} = I_0\) und der Masche \(M_2: I_\mathrm {M2} = -I_2\). Der Strom durch den Widerstand \(R_1\) lässt sich beispielsweise über die Knotengleichung berechnen: \(I_1 = I_0 + I_2\).

Beispiel 1: Maschenstromverfahren

Analyse des elektrischen Netzwerk aus der Abbildung 6 mittels der Maschenstromanalyse.

Für die Maschenstromanalyse sollen die folgenden Schritte bearbeitet werden:

  • Vorbereitung des Netzwerkes
  • Maschen und Maschenströme definieren
  • Widerstandsmatrix bestimmen
  • Quellspannungen zuordnen
  • Gleichungssystem aufstellen
Die Schaltung besitzt eine obere und eine untere Sammelschiene. Links liegt eine Spannungsquelle U_0 in Serie mit dem Widerstand R_0; in der Mitte verbindet ein senkrechter Zweig aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen R_3 und R_4 die beiden Schienen. Vom oberen Knoten dieses Mittelzweigs geht nach rechts eine Reihenschaltung aus Spannungsquelle U_1 und Widerstand R_1, vom mittleren Knoten eine horizontale Leitung mit dem Widerstand R_5. Rechts unten befindet sich in der Hauptleitung eine Stromquelle, parallel dazu ein Nebenzweig mit dem Widerstand R_2; an allen Bauelementen sind Ströme und Spannungsabfälle mit Pfeilen gekennzeichnet.
Abbildung 6: Beispiel. Maschenstromanalyse an einem elektrischen Netzwerk.
a)
Vorbereitung des Netzwerkes:
Die Schaltung hat eine obere und eine untere Sammelschiene; links speist eine Spannungsquelle U_0 mit dem Serienwiderstand R_0, in der Mitte verbinden die senkrechten Widerstände R_3(oben) und R_4(unten) die beiden Schienen. Vom oberen Mittelknoten führt nach rechts eine Serienschaltung aus Spannungsquelle U_1 und Widerstand R_1, vom mittleren Knoten eine waagerechte Leitung mit dem Widerstand R_5 zu einem rechten Knoten. Unten rechts ist in einem roten Kreis ein Teilnetz hervorgehoben, das aus einer Spannungsquelle U_2 und dem in Reihe liegenden Widerstand R_2 besteht, über den der Strom I_2 nach rechts fließt.
b)
Maschen und Maschenströme definieren:
Die Schaltung besitzt einen rechteckigen Rahmen mit drei senkrechten Zweigen: links eine Spannungsquelle U_0 mit Serienwiderstand R_0, in der Mitte zwei übereinander angeordnete Widerstände R_3(oben) und R_4(unten), rechts ein reiner Leitungszweig ohne Bauteil. Vom oberen mittleren Knoten führt nach rechts eine Serienschaltung aus Spannungsquelle U_1 und Widerstand R_1, vom mittleren Knoten eine waagerechte Leitung mit Widerstand R_5, vom unteren mittleren Knoten nach rechts eine Serienschaltung aus Spannungsquelle U_2 und Widerstand R_2. Ströme und Spannungsabfälle sind an allen Widerständen und Quellen eingezeichnet, und die drei geschlossenen Umläufe links, rechts oben und rechts unten sind als Maschen M_1, M_2 und M_3 markiert.

\begin {equation} I_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} I_\mathrm {M1} \\ \\ I_\mathrm {M2} \\ \\ I_\mathrm {M3} \\ \end {bmatrix}\nonumber \end {equation}

c)
Widerstandsmatrix bestimmen: \begin {equation} R_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} R_0 + R_3 + R_4 & -R_3 & -R_4 \\ \\ -R_3 & R_1 + R_3 + R_5 & -R_5\\ \\ -R_4 & -R_5 & R_2 + R_4 + R_5 \\ \end {bmatrix} \nonumber \end {equation}
d)
Quellspannungen zuordnen: \begin {equation} U_\mathrm {M} = \begin {bmatrix} U_0 \\ \\ U_1 \\ \\ -U_2\\ \end {bmatrix} \nonumber \end {equation}
e)
Gleichungssystem aufstellen: \begin {equation} \begin {bmatrix} R_0 + R_3 + R_4 & -R_3 & -R_4 \\ \\ -R_3 & R_1 + R_3 + R_5 & -R_5\\ \\ -R_4 & -R_5 & R_2 + R_4 + R_5 \\ \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} I_\mathrm {M1} \\ \\ I_\mathrm {M2} \\ \\ I_\mathrm {M3} \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} U_0 \\ \\ U_1 \\ \\ -U_2\\ \end {bmatrix}\nonumber \end {equation} Ströme Berechnen: \begin {align} I_3 = I_0 - I_1\nonumber \\ I_4 = I_3 - I_5\nonumber \\ I_0 = I_4 - I_2\nonumber \\ -I_5 = I_2 + I_1\nonumber \end {align}
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