1 Magnetischer Kreis 1

Berechnen Sie die die Induktivität \(L\) der Ringkernspule in Abbildung 1 mit rechteckförmigen Kernquerschnitt

Die Spule hat die folgenden Daten: \begin {align*} N &= 250\\ h &= 2\,\mathrm {cm}\\ r_1 &= 3\,\mathrm {cm}\\ r_2 &= 5\,\mathrm {cm}\\ \mu _r &= 500\\ \mu _0 &= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac {\mathrm {Vs}}{\mathrm {Am}} \end {align*}

a)

mit Hilfe des magnetischen Widerstands \(R_m\).

b)

mit Hilfe der magnetischen Flussdichte \(B\) und Feldstärke \(H\).

c)

Wie erklären Sie sich die abweichenden Ergebnisse aus Aufgabenteil a) und b)?

1.1 Lösung:

• Magnetischer Widerstand: \begin {align*} R_{m} &= \frac {l_{Fe}}{\mu _r \cdot \mu _0 \cdot A_{Fe}} \\ R_{m} &= \frac {2\pi \cdot (\frac {r_2 + r_1}{2})}{\mu _r \cdot \mu _0 \cdot h \cdot (r_2 - r_1)} \end {align*}

  Annahme: Im Kernquerschnitt \(A\) verlaufe der magnetische Fluss \(\Phi \) und das Magnetfeld habe überall die gleiche Flussdichte \(B\).
  Mittlere Feldlinienlänge: \begin {equation*} \ell _{Fe} = 2\pi \cdot \frac {r_2 + r_1}{2} \end {equation*}

  Kernquerschnitt: \begin {equation*} A_{Fe} = h \cdot (r_2 - r_1) \end {equation*}

  Induktivität: \begin {align*} L_1 &= \frac {N^2}{R_{m}} = N^2 \cdot \frac {\mu _r \cdot \mu _0 \cdot h \cdot (r_2 - r_1)}{\pi \cdot (r_2 + r_1)}\\ &= 250^2 \cdot \frac {500 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \frac {\text {Vs}}{\text {Am}} \cdot 2 \cdot 10^{-2}\,\text {m} \cdot (5-3) \cdot 10^{-2}\,\text {m}}{\pi (5+3) \cdot 10^{-2}\,\text {m}}\\ &= 62,5\,\text {mH} \end {align*}

• exakte Berechnung. Es wird berücksichtigt, dass die Flussdichte \(B\) Radiusabhängig ist.
  1. Schritt: Feldstärke \(H\) \begin {align*} \oint _s \vec {H}\cdot \mathrm{d} \vec {s} &= N \cdot I = H \cdot \ell \\ H &= I \cdot \frac {N}{\ell } = I \cdot \frac {N}{2 \pi r} \end {align*}

  2. Schritt: Flussdichte \(B\) \begin {equation*} B = \mu _r \cdot \mu _0 \cdot H = \mu _r \cdot \mu _0 \cdot I \cdot \frac {N}{2 \pi r} \qquad \text {für } r_1 \ll r_2 \end {equation*}

  3. Schritt: magnetischer Fluss \(\Phi \) \begin {align*} \Phi &= \int \vec {B} \cdot d\vec {A} \qquad \text {mit\,} d\vec {A} = h \cdot d\vec {r}\\ &= \int _{r_1}^{r_2} \vec {B} \cdot h \cdot d\vec {r} = \frac {\mu _r \cdot \mu _0 \cdot h \cdot N \cdot I}{2\pi } \cdot \int _{r_1}^{r_2} \frac {1}{r} \cdot dr \end {align*}

  aus Grundintegral: \begin {equation*} \int _{r_1}^{r_2} \frac {1}{r} \cdot dr =\ln (r_2)-\ln (r_1)= \ln \left (\frac {r_2}{r_1}\right ) \end {equation*}

  folgt \begin {equation*} \Phi = \frac {\mu _r\cdot \mu _0 \cdot h \cdot N \cdot I}{2\pi } \cdot \ln \left (\frac {r_2}{r_1}\right ) \end {equation*}

  4. Schritt: Induktivität \(L\) \begin {equation*} \text {Definition:\,} L = \frac {N \cdot \Phi }{I} \end {equation*}

  Nach Einsetzen von \(\Phi \) kürzt sich der Strom \(I\) heraus. \begin {equation*} L_2 = N^2 \cdot \frac {\mu _r \cdot \mu _0 \cdot h}{2\pi } \cdot \ln \left (\frac {r_2}{r_1}\right ) \end {equation*}

  Werte einsetzen: \begin {align*} L_2 &= 250^2 \cdot \frac {500 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \frac {\text {Vs}}{\text {Am}} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \,\text {m}}{2\pi } \cdot \ln \left (\frac {5\cdot 10^{-2}\,\text {m}}{3\cdot 10^{-2}\,\text {m}}\right )\\ &= 63,85 \,\text {mH} \end {align*}

• Die Annahme eines homogenen Magnetfeldes im Kernquerschnitt trifft nur näherungsweise zu. Die Formel für \(L_1\) ist deshalb nur eine gute Näherungsformel.

2 Spule mit Eisenkern und Luftspalt

Eine Spule (siehe Abbildung 2) mit Eisenkern und Luftspalt erzeugt bei einem Strom \(I=0,1\) A im Luftspalt eine Flussdichte \(B_L=0,8\) T (der Streufluss soll vernachlässigt werden). Daten:

• \(l_{Fe}=5\) cm
• \(A_{Fe}=4\) cm\(^2\)

a)

Wie groß ist die Induktivität \(L\) der Spule bei \(N=500\) Windungen?

b)

Berechnen Sie \(\mu _{r,Fe}\) für die vorgegebene Flussdichte \(B_{Fe} = B_L = 0,8\,\text {T}\) mit Hilfe von Abbildung 2.

c)

Berechnen Sie die Luftspaltlänge \(s\) mit Hilfe des magnetischen Widerstands \(R_m\).

2.1 Lösung:

• Aus Definitionsgleichung \begin {align*} L &= \frac {N \cdot \Phi }{I} \qquad \text {mit\,} \Phi = B \cdot A\\ &= \frac {500 \cdot 0.8 \,\frac {\text {Vs}}{\text {m$^2$}} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \,\text {m}^2}{0.1\,\text {A}} = 1,6 \,\text {H} \end {align*}

• \(\mu _{r,\text {Fe}}\) bestimmen
  \(H_{Fe}\) aus Magnetisierungskennlinie ermitteln bei \(B_{Fe} = 0.8\) T
  \(H_{Fe} \approx 2,4 \,\frac {\text {A}}{\text {cm}} = 240\,\frac {\text {A}}{\text {m}}\)

  \begin {align*} \mu _{r,Fe} &= \frac {B_{Fe}}{\mu _0 \cdot H_{Fe}} = \frac {0.8 \,\frac {\text {Vs}}{\text {m$^2$}}}{4\pi \cdot 10^{-7} \,\frac {\text {Vs}}{\text {Am}} \cdot 240 \,\frac {\text {A}}{\text {m}} } \\ &= 2652,58 \text {(arbeitspunktabhängig)} \end {align*}

• Berechnung der Luftspaltlänge \(s\) (siehe Formel ??) \begin {equation*} L = \frac {N^2}{R_m} \end {equation*}

  Magnetischer Widerstand (siehe Formel ??): \begin {equation*} R_m = \frac {\ell _m}{\mu _0 \cdot \mu _r \cdot A} \end {equation*}

  einsetzen \begin {equation*} L = N^2 \cdot \frac {\mu _0 \cdot \mu _r \cdot A}{\ell _m} \end {equation*}

  Mittlere Weglänge: \begin {equation*} \ell _m = \ell _{Fe} + s \end {equation*}

  mit \(\mu _{r,Luft}=1 \): \begin {equation*} L = N^2 \cdot \frac {\mu _0 \cdot A}{\frac {\ell _{Fe}}{\mu _{r,Fe}} + s} \end {equation*}

  \begin {align*} s &= N^2 \cdot \frac {\mu _0 \cdot A}{L} - \frac {\ell _{Fe}}{\mu _{r,Fe}}\\ &= 500^2 \cdot \frac {4\pi \cdot 10^{-7} \,\frac {\text {Vs}}{\text {Am}} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \,\text {m$^2$}}{1.6\,\frac {\text {Vs}}{\text {A}}} - \frac {5\,\text {cm}}{2652,58}\\ &= 59,69 \,\text {$\mu $m} \end {align*}

3 Elektromagnet

Ein Elektromagnet bestehend aus einem Eisenkern und einer Spule (siehe Abbildung 3) hat die folgenden Daten: \begin {align*} \text {Eisenmaterial M350-50A: } A_{Fe}&=4\,\text {cm}^2\\ \text {Eisenmaterial M350-50A: } \ell _{Fe}&=12\,\text {cm}\\ \text {Luftspalt: } A_L&=4\,\text {cm}^2\\ \text {Luftspalt: } \ell _L&=0,5\,\text {mm}\\ N&=1000\\ \mu _0 &= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac {\mathrm {Vs}}{\mathrm {Am}} \end {align*}

Wie groß ist die erforderliche Stromstärke für eine Haltekraft von \(F_{H}=318\) N?
Hinweis: der Luftspalt der Breite \(\ell _l\) existiert auf beiden Seiten!

3.1 Lösung:

Die für die Haltekraft erforderliche Flussdichte im Luftspalt pro Fläche: \begin {align*} F_{m} &= \frac {1}{2} \cdot \frac {B_{L}^2}{\mu _0} \cdot A_L \\ B_L &= \sqrt {\frac {2\cdot F_m \cdot \mu _0}{A_L}} \\ B_L &= \sqrt {\frac {2 \cdot 159 \,\frac {\text {VAs}}{\text {m}} \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \frac {\text {Vs}}{\text {Am}}}{4 \cdot 10^{-4} \,\text {m}^2}} \\ B_L &= 1,00\,\text {T} \end {align*}

Durchflutungssatz: \begin {equation*} N \cdot I = H_{Fe} \cdot \ell _{fe} + H_L \cdot \ell _L \end {equation*}

Bestimmung der magnetischen Feldstärken: \begin {align*} H_L &= \frac {B_L}{\mu _0} = \frac {1,00\text {T}}{4\pi \cdot 10^{-7} \frac {\text {Vs}}{\text {Am}}} \\ H_L &= 795,77 \frac {\,\text {kA}}{\text {m}} \\ H_{Fe} &= 140 \frac {\,\text {A}}{\text {m}}\qquad (\text {aus Magnetisierungskurve}) \end {align*}

\begin {align*} N \cdot I &= 140 \frac {\,\text {A}}{\text {m}} \cdot 0,12 \text {\,m} + 795,77 \frac {\,\text {kA}}{\text {m}} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text {\,m} \\ I &= \frac {812,57 \text {\,A}}{1000} = 812,57 \text {\,mA} \end {align*}