1 RC-Tiefpass 1. Ordnung

Die Ausgangsspannung eines RC-Tiefpasses soll bei der Frequenz \(f=1\,\mathrm {kHz}\) nur noch \(10\,\%\) der Eingangspannung betragen. Wie groß ist die Grenzfrequenz zu wählen?

1.1 Lösung:

\begin {align*} \underline {F}(\mathrm {j}\omega )&=\frac {\underline {U}_a}{\underline {U}_e} = \frac {\frac {1}{j\omega C}}{\frac {1}{j\omega C} + R} = \frac {1}{1 + j\omega RC}\\ A(\omega )&=\frac {U_a}{U_e} = \frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^2}}\\ A(\omega _g)&=\frac {1}{\sqrt {1+(\omega _g RC)^2}} \overset {!}{=} \frac {1}{\sqrt {2}} \Rightarrow \omega _g = \frac {1}{RC} \\ A(\omega )&\overset {!}{=} 0,1 \Rightarrow \sqrt {1+(\omega RC)^2} \overset {!}{=} 10\\ \Leftrightarrow 1 + (\omega RC)^2 &= 100 \Leftrightarrow (\omega RC)^2 = 99 \Rightarrow \omega _g = \frac {\omega }{\sqrt {99}}\\ \Rightarrow f_g &= \frac {f}{\sqrt {99}} = \frac {1\,\mathrm {kHz}}{\sqrt {99}} = 100,5\,\mathrm {Hz} \end {align*}

2 RC-Hochpass 1. Ordnung

Wie groß ist die Phasenverschiebung \(\varphi \) bei einem RC-Hochpass 1. Ordnung, wenn die Sperrdämpfung (Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung) \(-6\,\mathrm {dB}\) beträgt?

2.1 Lösung:

\begin {align*} -6\,\mathrm {dB} &= 20\cdot \lg \left (\frac {U_a}{U_e}\right )\,\mathrm {dB} \\ \Rightarrow -0,3 &= \lg \left (\frac {U_a}{U_e}\right )\\ \Rightarrow \frac {U_a}{U_e} &= 10^{-0,3} = 0,501\\ \frac {\underline {U}_a}{\underline {U}_e} &= \frac {R}{R+\frac {1}{j\omega C}} = \frac {1}{1-j\frac {1}{\omega CR}}\\ \frac {U_a}{U_e} &= \frac {1}{\sqrt {1+\frac {1}{(\omega CR)^2}}} \overset {!}{=} 0,501\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \frac {1}{(\omega CR)^2}} &= \frac {1}{0,501}\\ \Leftrightarrow \frac {1}{(\omega CR)^2} &= 2,981 \Leftrightarrow \frac {1}{\omega CR} = \sqrt {2,981} = 1,727\\ \frac {\underline {U}_a}{\underline {U}_e} &= \frac {1+j\frac {1}{\omega CR}}{1+\frac {1}{(\omega CR)^2}}\\[0.75em] \varphi &= \arctan \left (\frac {1}{\omega CR}\right ) = \arctan \left (\sqrt {2,981}\right ) = 59,92^\circ \end {align*}

3 Frequenzgang eines RLC-Serienschwingkreises

Gegeben ist unten dargestellte Schaltung mit \(L = 20\,\mathrm {mH}\), einem Widerstand \(R = 150\,\Omega \) und einem Kondensator mit \(C = 1\,\mu \mathrm {F}\).

a)

Geben Sie die Resonanzfrequenz der Schaltung an. Handelt es dich um Strom- oder Spannungsresonanz?

b)

Leiten Sie den Frequenzgang \(\frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1}\) allgemein her.

c)

Berechnen und skizzieren Sie den Betrag des Frequenzganges \(\frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1}\) in halblogarithmischer Darstellung. Geben Sie den Betrag für \(\omega = 0, 100\,\mathrm {s}^{-1}\), \(2000\,\mathrm {s}^{-1}\), \(3500\,\mathrm {s}^{-1}\), \(\omega _0\) , \(10000\,\mathrm {s}^{-1}\) und \(\infty \) an.

d)

Kommt es bei einer Induktivität von 10 mH im Resonanzfall zu einer Spannungsüberhöhung?

3.1 Lösung:

a)

Die Resonanzkreisfrequenz \(\omega _0\) ergibt sich durch die Resonanzbedingung \(\Im \{\underline {Z}=0\}\).

\begin {align*} \underline {Z} &= R + \mathrm {j}\omega L + \frac {1}{\mathrm {j} \omega C} = R + \mathrm {j}\cdot \left (\omega L + \frac {1}{\omega C}\right ) &&\Rightarrow \omega _0 L - \frac {1}{\omega _0 C} \overset {!}= 0 \\ \Rightarrow \omega _0 &= \frac {1}{\sqrt {LC}} = \frac {1}{\sqrt {20\,\mathrm {mH} \cdot 1\,\mu \mathrm {F}}} = 7071,07\,\mathrm {s}^{-1} &&\Rightarrow f_0 = \frac {\omega _0}{2\pi } = 1125,4\,\mathrm {Hz} \end {align*}

Da die Schaltung eine Reihenschaltung aus einem Widerstand, Kondensator und einer Spule ist, handelt es sich um eine Spannungsresonanz.

b)

Die Spannungsteilerregel liefert den Frequenzgang:

\begin {align*} \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1} = \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) &= \frac {\underline {Z}_{\mathrm {C}}}{\underline {Z}_{\mathrm {R}} + \underline {Z}_{\mathrm {L}} + \underline {Z}_{\mathrm {C}}} \\ &= \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{R + \mathrm {j}\omega L + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} &&\bigg | \cdot \frac {\mathrm {j}\omega C}{\mathrm {j}\omega C} \\ &= \frac {1}{\mathrm {j}\omega CR + \mathrm {j}^2 \omega ^2 LC + 1} \\ &= \frac {1}{1 - \omega ^2 LC + \mathrm {j} \omega R C} \end {align*}

c)

Der Betrag des Frequenzganges (Amplitudengang \(A(\omega )\)) ergibt sich zu:

\begin {align*} \left | \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) \right | = A(\omega ) &= \frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^2 LC)^2 + (\omega R C)^2 }} \end {align*}

Der Betrag des Frequenzganges ist in folger Abbildung dargestellt.

Die zugehörigen Werte sind:

d)

Die Güte eines Reihenschwingkreises gibt die Spannungsüberhöhung über \(L\) beziehungsweise \(C\) im Resonanzfall an.

\begin {align*} \frac {U_2(\omega _0)}{U_1(\omega _0)} = Q_S &= \frac {X_k}{R} = \frac {\omega _0 L}{R} = \frac {1}{R}\cdot \sqrt {\frac {L}{C}}\\ &= \frac {1}{150\,\Omega }\cdot \sqrt {\frac {10\,\mathrm {mH}}{1\,\mu \mathrm {F}}}= 0,\overline {66} \end {align*}

Für \(L=10\,\mathrm {mH}\) ist \(Q_S < 1\), es kommt also zu keiner Spannungsüberhöhung im Resonanzfall.

4 Frequenzgang eines Vierpols aus R, L und C

Die unten dargestellte Schaltung soll untersucht werden. Hierbei sollen für die Bauelemente die allgemeinen Werte \(\mathrm {R}_1\), \(\mathrm {R}_2\), L, C verwendet werden.

a)

Bestimmen Sie das folgende Spannungsteilerverhältnis.

\begin {align*} \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) = \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1} \end {align*}

b)

Berechnen und skizzieren Sie den Betrag und die Phase von \(\underline {F}(\mathrm {j}\omega )\). Kennzeichnen Sie charakteristische Punkte.

c)

Berechnen Sie die Ausgangsspannung \(\mathrm {u}_2 (t)\), wenn für die Eingangsspannung

\begin {align*} \mathrm {u}_1 (t) = 5 \mathrm {V} \cdot \mathrm {cos} (2\pi \cdot 10 \mathrm {kHz} \cdot t) \end {align*}

gilt.

4.1 Lösung:

a)

Das Spannungsteilerverhältnis ergibt sich zu:

\begin {align*} \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) & = \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1} \\ &= \frac {R_2}{R_1 + \underline {Z}_L || \underline {Z}_C + R_2} &&\text {mit} \underline {Z}_L || \underline {Z}_C = \frac {\mathrm {j}\omega L \cdot \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{\mathrm {j}\omega L - \mathrm {j}\frac {1}{\omega C}} = -\mathrm {j}\cdot \left (\frac {1}{\omega C - \frac {1}{\omega L}}\right )\\ &= \frac {R_2}{R_1 + R_2 - \mathrm {j}\left (\frac {1}{\omega C - \frac {1}{\omega L}}\right )} \end {align*}

b)

Der Betrag des Spannungsteilerverhältnisses ergibt sich allgemein zu:

\begin {equation*} \left | \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) \right | = A(\omega ) = \frac {\mathrm {R}_2}{\sqrt {(\mathrm {R}_1 + \mathrm {R}_2)^2 + \left (\frac {1}{\omega \mathrm {C} - \frac {1}{\omega \mathrm {L}}}\right )^2}} \end {equation*} Die Parallelschaltung aus \(L\) und \(C\) verhält sich für \(\omega \to 0\) und für \(\omega \to \infty \) wie ein Kurzschluss, da jeweils eins der beiden Bauelemente in beiden Fällen eine Impedanz gegen Null besitzt. Daraus folgt für \(\omega \to 0\) und \(\omega \to \infty \): \begin {equation*} A(\omega \to 0) = A(\omega \to \infty ) = \frac {R_2}{R_1+R_2} \end {equation*} Im Resonanzfall (\(\omega = \omega _0 = \sqrt {\frac {1}{LC}}\)) heben sich die Admittanzen von \(L\) und \(C\) (Parallel-Schwingkreis) gegenseitig auf. Mit \(Y_C + Y_L \to 0\) folgt auch \(Z_L||Z_C \to \infty \) für \(\omega \to \omega _0\). \begin {equation*} A(\omega _0) = \frac {R_2}{\sqrt {(\mathrm {R}_1 + \mathrm {R}_2)^2 + \infty ^2}} = \frac {1}{\infty } = 0 \end {equation*}

Die Phase ergibt sich zu: \begin {align*} \varphi (\omega )&= \underbrace { \arctan \left (\frac {0}{R_2}\right ) }_{\varphi _{\text {Zähler}}} - \underbrace { \arctan \left (\frac {-\left (\frac {1}{\omega C - \frac {1}{\omega L}}\right )}{R_1 + R_2}\right ) }_{\varphi _{\text {Nenner}}} = \arctan \left (\frac {\frac {1}{\omega C - \frac {1}{\omega L}}}{R_1+R_2}\right ) \end {align*}

Mit: \begin {align*} \varphi (\omega \to 0) &= \arctan \left (0\right ) = 0\\ \varphi (\omega \to \infty ) &= \arctan \left (0\right ) = 0\\ \varphi (\omega _0) &= \arctan \left (\infty \right ) = \pm \frac {\pi }{2} \\ \varphi (\omega < \omega _0) &< 0\\ \varphi (\omega > \omega _0) &> 0 \end {align*}

Der Amplitudengang und Phasengang sind in folgendem Bode-Diagramm dargestellt.

c)

Die Ausgangsspannung ergibt sich zu:

\begin {align*} \underline {U}_2 &= \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) \cdot \underline {U}_1 \\ u_2(t) &= A(\omega ) \cdot 5\,\mathrm {V} \cdot \cos \left (\omega t + \varphi (\omega )\right ) &&\text {mit} \omega = 2\pi \cdot 10\,\mathrm {kHz}\cdot \end {align*}

5 RLC-Parallelschwingkreis

c)

Berechnen Sie die Resonanzfrequenz \(f_0\), sowie die Frequenzen \(f_{\mathrm {u}}\) und \(f_{\mathrm {o}}\), bei denen der Betrag von \(\underline {Z}(\omega )\) auf \(\frac {Z_0}{\sqrt {2}}\) gefallen ist, wobei \(Z_0\) der Betrag der Gesamtimpedanz im Resonanzfall ist. Bestimmen Sie auch die Differenz der beiden Frequenzen. Diese gibt die Bandbreite \(B\) an. Für diesen Aufgabenteil gilt \(R = 300\,\Omega \), \(L = 200\,\mathrm {mH}\) und \(C = 1\,\mu \mathrm {F}\).

d)

Die Bandbreite wird auch mit der Formel \(B = \frac {f_0}{Q}\) bestimmt. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Aufgabenteil c).

e)

Liegen die obere und die untere Grenzfrequenz symmetrisch um \(f_0\)?

5.1 Lösung:

a)

Die Gesamtimpedanz des Schwingkreises ergibt sich zu:

\begin {align*} \underline {Y} &= \frac {1}{R} + \mathrm {j}\omega C + \frac {1}{\mathrm {j}\omega L} \\[2pt] \underline {Z} &= \frac {1}{\underline {Y}} = \frac {1}{\frac {1}{R} + \mathrm {j}\omega C + \frac {1}{\mathrm {j}\omega L}} \\[2pt] &= \frac {\frac {1}{R}-\mathrm {j}\cdot \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )}{\frac {1}{R^2} + \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2} \end {align*}

b)

Betrag der Gesamptimpedanz in halblogarithmischer Darstellung:

Die Gesamptimpedanz ist maximal bei Resonanzkreisfrequenz mit \(\underline {Z}(\omega _0) = R\).

c)

Resonanz:

\begin {align*} \Im \{\underline {Y}\} = \omega _0 C - \frac {1}{\omega _0 L} \overset {!}{=} 0 \Leftrightarrow \omega _0 &= \frac {1}{\sqrt {LC}} \Rightarrow f_0 = \frac {\omega _0}{2\pi }\\ |\underline {Z}(\omega _0)| = \frac {1}{\sqrt {\frac {1}{R^2} + \Big (\smash {\underbrace { \omega _0 C - \frac {1}{\omega _0 L} }_{={}{0}}}\Big )^2 } } &= \frac {1}{\sqrt {\frac {1}{R^2}}} = R \end {align*}

Grenzfrequenzen, Bandbreite: \begin {align*} {|\underline {Z}(\omega )| \overset {!}{=} \frac {R}{\sqrt {2}} \Leftrightarrow } \frac {1}{\sqrt {\frac {1}{R^2} + \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2}} &= \frac {R}{\sqrt {2}} \\ \frac {R}{\sqrt {1 + R^2\cdot \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2}} &= \frac {R}{\sqrt {2}} \\ 1 + R^2\cdot \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2 &= 2 \\ \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2 &= \frac {1}{R^2} \\ \omega C - \frac {1}{\omega L} &= \pm \frac {1}{R} \\ \omega ^2 LC \pm \omega \cdot \frac {L}{R} - 1 &= 0 \\ \omega ^2 \pm \omega \cdot \frac {1}{RC} - \frac {1}{LC} &= 0 \\ x^2 + p \cdot x + q &= 0 \vphantom {\frac {1}{LC}} \end {align*}

\begin {align*} x_{1,2} &= -\frac {p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right )^2 - q} \\ \Rightarrow \omega &= \pm \frac {1}{2 \cdot RC} \pm \sqrt {\frac {1}{(2 \cdot RC)^2} + \frac {1}{LC}}\\ \frac {1}{2 \cdot RC} &= 1,6667 \cdot 10^3\ \mathrm {s}^{-1} \qquad \frac {1}{LC} = 5 \cdot 10^6\ \mathrm {s}^{-2} \\[4pt] \omega &= \pm 1,6667 \cdot 10^3\ \mathrm {s}^{-1} \pm 2,7889 \cdot 10^3\ \mathrm {s}^{-1} \\[4pt] \omega {g,o} &= 4,4556 \cdot 10^3 \mathrm {s}^{-1} \qquad f_{g,o} = 709,12\ \mathrm {Hz}\\ \omega {g,u} &= 1,1222 \cdot 10^3 \mathrm {s}^{-1} \qquad f_{g,u} = 178,60\ \mathrm {Hz}\\[4pt] B &= f_{g,o} - f_{g,u} = 530,5\,\mathrm {Hz} \end {align*}

d)

Bestimmung der Bandbreite über die Resonanzfrequenz und die Güte:

\begin {align*} B &= \frac {f_0}{Q} & \text {mit} Q &= \sqrt {\frac {C}{L}}\cdot R = \sqrt {\frac {1\ \mu \mathrm {F}}{200\ \mathrm {mH}}} \cdot 300\ \Omega = 0,6708 \\ B &= \frac {355,88\ \mathrm {Hz}}{0,6708} = 530,5\ \mathrm {Hz} & \text {mit} f_0 &= \frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} = \frac {1}{2\pi \sqrt {200\ \mathrm {mH} \cdot 1\ \mu \mathrm {F}}} = 355,88\ \mathrm {Hz} \\ \end {align*}

e)

Bei logarithmischer Frequenzachse verläuft die Kurve des Impedanzbetrags \(|\underline {Z}(\omega )|\) symmetrisch um die Resonanzkreisfrequenz \(\omega _0\), das heißt \(f_{g,o}\) und \(f_{g,u}\) liegen dann symmetrisch um \(f_0\).

\begin {equation*} \left (\omega C - \frac {1}{\omega L}\right )^2 = \bigg (\underbrace { \frac {\omega }{\omega _0} - \frac {\omega _0}{\omega } }_{=\vartheta (\omega ){,\ \vartheta ^2\ \text {symmetrisch um }\omega _0\text { bei faktorieller Änderung}}} \bigg )^2\cdot \frac {C}{L} \qquad \Longrightarrow \qquad \vartheta ^2(n\cdot \omega _0) = \vartheta ^2\left (\frac {1}{n}\cdot \omega _0\right ) \end {equation*}

6 RC-Filter zweiter Ordnung

Für die untenstehende hintereinandergeschalteten RC-Glieder gilt \(R_1 = R_2 = R = 1000\,\Omega \) und \(C_1 = C_2 = C = 1\,\mu \mathrm F\).

a)

Bestimmen Sie den Frequenzgang der Schaltung \(\underline {F}(\mathrm {j}\omega ) = \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1}\).

b)

Zeichnen Sie den Amplitudengang und den Phasengang in logarithmischer Darstellung. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem einfachen RC-Glied mit denselben Bauelementen.

6.1 Lösung:

a)

Frequenzgang:

\begin {align*} \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) &= \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1} = \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_m} \cdot \frac {\underline {U}_m}{\underline {U}_1}\\ \frac {\underline {U}_m}{\underline {U}_1} &= \frac {\underline {Z}_{\mathrm {ers}}}{R + \underline {Z}_{\mathrm {ers}}} = \frac {1}{\frac {R}{\underline {Z}_{\mathrm {ers}}} + 1}\\ \underline {Z}_{\mathrm {ers}} &= \left ( R + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \right ) \bigg |\bigg |\, \frac {1}{\mathrm {j}\omega C} = \left ( \frac {1}{R + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} + \mathrm {j}\omega C\right )^{-1}\\ \frac {\underline {U}_m}{\underline {U}_1} &= \frac {1}{R \cdot \left (\frac {1}{R + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} + \mathrm {j}\omega C\right ) + 1} \\ &= \frac {1}{\frac {R\cdot \mathrm {j}\omega C}{R\cdot \mathrm {j}\omega C + 1} + R\cdot \mathrm {j}\omega C + 1} \\ &= \frac {R\cdot \mathrm {j}\omega C + 1}{R\cdot \mathrm {j}\omega C + \left ( R\cdot \mathrm {j}\omega C + 1 \right )^2} \\ &= \frac {R\cdot \mathrm {j}\omega C + 1}{R\cdot \mathrm {j}\omega C - R^2\omega ^2 C^2 + 2\cdot \mathrm {j}\omega C R + 1 } \\ &= \frac {1}{1 - \omega ^2 C^2 R^2 + \mathrm {j}3\omega C R} \\ &= \frac {1 + \mathrm {j}\Omega }{1 - \Omega ^2 + \mathrm {j}3\Omega } \qquad \text {mit} \qquad \Omega = \omega C R\\[4pt] \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_m} &= \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{R + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\omega C R} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\Omega }\\[4pt] \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_1} &= \frac {\underline {U}_2}{\underline {U}_m} \cdot \frac {\underline {U}_m}{\underline {U}_1} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\omega C R} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\Omega } \cdot \frac {1 + \mathrm {j}\Omega }{1 - \Omega ^2 + \mathrm {j}3\Omega } \\ &= \frac {1}{1 - \Omega ^2 + \mathrm {j}3\Omega } = \frac {1}{1 - (\omega C R)^2 + \mathrm {j}3\omega C R} \end {align*}

Vergleich einfacher Tiefpass: \begin {align*} \underline {F}(\mathrm {j}\omega ) = \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{R + \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\omega C R} = \frac {1}{1 + \mathrm {j}\Omega } \end {align*}

Wegen Kopplungseffekten kann der Frequenzgang des einfachen Tiefpasses bei Serienschaltung nicht einfach multipliziert werden.

b)

Bode-Diagramm (Amplituden- und Phasengang) für RC-Tiefpassfilter 1. und 2. Ordnung:

Die Dämpfung im Sperrbereich beträgt bei 2. Ordnung (blau) das doppelte (\(40\,\mathrm {dB}/\mathrm {Dek}\)) im Vergleich zur 1. Ordnung (rot) (\(20\,\mathrm {dB}/\mathrm {Dek}\)). Die Phasenverschiebung reicht von \(0^\circ \) bis \(-180^\circ \) bei 2. Ordnung, im Gegensatz zur 1. Ordnung, die nur von \(0^\circ \) bis \(-90^\circ \) reicht. Die Grenzfrequenz verschiebt sich durch die höhere Dämpfung nach links (kleiner für 2. Ordnung).

7 Impedanz- und Admittanzortskurve eines RL-Gliedes

Gegeben ist die Serienschaltung aus einer Induktivität \(L = 10\,\mathrm {mH}\) und einem Widerstand \(R = 5\,\mathrm {k}\Omega \) bei einer variablen Frequenz mit \(f_\mathrm {min} = 5\,\mathrm {kHz}\) und \(f_\mathrm {max} = 50\,\mathrm {kHz}\).

a)

Bestimmen Sie die Impedanzortskurve und stellen Sie diese quantitativ dar. Kennzeichnen Sie den Parameter an mindestens drei sinnvollen Stellen.

b)

Zeichnen Sie die invertierte Ortskurve (Admittanzortskurve). Überlegen Sie sich zunächst den prinzipiellen Verlauf und benutzen Sie dann einige Zahlenwerte aus dem vorherigen Aufgabenteil a) für die Bestimmung der Ortskurvenpunkte.

7.1 Lösung:

8 Admittanzortskurve gemischter Reihen-/Parallelschaltung

a)

Bestimmen Sie die Admittanz für \(p=0\), \(p=1\), \(p=2\) und \(p\to \infty \).

b)

Skizzieren Sie den Verlauf der Admittanzortskurve und zeichnen Sie die Werte ein. (Empfohlener Darstellungsbereich: \(0 + \mathrm {j}0\) bis \(0,25\,\mathrm {S}+ \mathrm {j}0,25\,\mathrm {S}\))

c)

Für welchen Wert von \(p\) eilt der Gesamtstrom \(\underline {I}\) einer angelegten Wechselspannung \(\underline {U}\) um \(45^\circ \) voraus? Bestimmen Sie zeichnerisch den Wert für \(\underline {Y}\).

d)

Überprüfen Sie das Ergebnis aus c) rechnerisch.

8.1 Lösung:

a)

Admittanz \(\underline {Y}\) für \(p=0\), \(p=1\), \(p=2\) und \(p\to \infty \):

9 Wechselstrommessbrücke

c)

Ist die Messspannung \(\underline {U}_B\) aus Aufgabe b) frequenzabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

d)

Wie verhält sich die Messspannung \(\underline {U}_B\) bei \(X_1 = X_2\)?

e)

Wie verhält sich die Messspannung \(\underline {U}_B\) bei \(X_1 = -X_2\)?

9.1 Lösung:

a)

Messspannung aus Potentialdifferenz von Spannungsteilern: \begin {align*} \underline {U}_B &= U_0 \cdot \left ( \frac {\underline {Z}_2}{\underline {Z}_1 + \underline {Z}_2} - \frac {\underline {Z}_4}{\underline {Z}_3 + \underline {Z}_4} \right )\\ &= U_0 \cdot \left ( \frac {\underline {Z}_2\cdot \underline {Z}_3+\cancel {\underline {Z}_2\cdot \underline {Z}_4}-\underline {Z}_1\cdot \underline {Z}_4-\cancel {\underline {Z}_2\cdot \underline {Z}_4}}{\left (\underline {Z}_1+\underline {Z}_2\right )\cdot \left (\underline {Z}_3+\underline {Z}_4\right )} \right ) \\ &= U_0 \cdot \left ( \frac {\underline {Z}_2\cdot \underline {Z}_3\ -\ \underline {Z}_1\cdot \underline {Z}_4}{\left (\underline {Z}_1+\underline {Z}_2\right )\cdot \left (\underline {Z}_3+\underline {Z}_4\right )} \right ) \end {align*}

b)

wie a) nur mit \(\underline {Z}_1 = \mathrm {j}X_1\), \(\underline {Z}_2 = \mathrm {j}X_2\), \(\underline {Z}_3 = \underline {Z}_4 = R\). \begin {align*} \underline {U}_B &= U_0 \cdot \left ( \frac {X_2 - X_1}{\left (X_1+X_2\right )\cdot \left (1+1\right )} \right ) \\ \underline {U}_B &= U_0 \cdot \left ( \cancel {\frac {\mathrm {j}R}{\mathrm {j}R}} \cdot \frac {\mathrm {j}X_2\cdot R - \mathrm {j}X_1\cdot R}{\left (\mathrm {j}X_1+\mathrm {j}X_2\right )\cdot \left (R+R\right )} \right ) \\ &= \frac {U_0}{2}\cdot \frac {X_2-X_1}{X_2+X_1} \end {align*}

c)

Die Messpannung \(\underline {U}_B\) ist unabhängig von der Frequenz, vorrausgesetzt es handelt sich um zwei kapazitive (\(X_C \sim \frac {1}{\omega }\)) oder um zwei induktive Blindwiderstände (\(X_L \sim \omega \)). Dann heben sich die frequenzabhängigen Terme der Reaktanzen \(X_1\) und \(X_2\) gegenseitig auf.

d)

Für \(X_1=X_2\) ist \(\underline {U}_B=0\). Beide Spannungsteiler (für \(\underline {U}_B^+\) und \(\underline {U}_B^-\)) ergeben \(U_0/2\).

e)

Für \(X_1=-X_2\) ist die Resonanzbedingung erfüllt (des idealen LC-Reihenschwingkreises aus \(X_1\) und \(X_2\)). Die Messspannung \(\underline {U}_B\) geht gegen unendlich (, da ungedämpft).